Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – 7 iulie 2020, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul 1
3 2 2 3 2 2
a = + + + este natural.
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + . Arătați că ( )( ) ( )1 2 2f f f= + .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
9 3 3x x
= ⋅ .
5p 4. Determinați numărul natural nenul n , ştiind că mulţimea { }1,2,3, ,A n= … are exact 10 submulţimi
cu două elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,0M , ( )7,0N și ( ),3A a , unde a este număr real.
Știind că AM AN= , arătați că segmentul AO are lungimea egală cu 5.
5p 6. Se consideră 0, 2
x
π 
∈ 
  pentru care 3cos 2 2cos 2x x− = . Calculați cos x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 2
1 1
2 5 2
a a
A a a
a a a
− 
 
=  
 − − 
și sistemul de ecuații
( )
( ) ( )
2 1
2
2 5 2 4
x a y az
ax y z a
ax a y a z
 + − + =
 + + = −
 + − + − = −
,
unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 3A = .
5p b) Demonstrați că ( )( ) ( )( )( )det 1 3 3 1A a a a a= − − + , pentru orice număr real a .
5p c) Determinați numărul natural a pentru care sistemul are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z și 0x , 0y , 0z sunt
numere naturale.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )2log 2 2x y
x y∗ = + .
5p a) Arătați că 0 0 1∗ = .
5p b) Demonstrați că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă.
5p c) Determinaţi numărul real x pentru care ( ) 23 log 3x x x∗ ∗ = + .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4 2 1f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
4 2
2 1
'
1
x x
f x
x x
−
=
− +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că, pentru orice 3 ,1
2
m  
∈  
 
, ecuația ( )f x m= are exact patru soluții reale.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 5
x
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( )
2
1
1 31
3
x dx
f x
⋅ =∫ .
5p b) Arătați că ( )
1
0
1 8
ln
2 5
g x dx =∫ , unde :g →ℝ ℝ , ( ) ( ) 2
1
2 5
g x f x x x
= + + + .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul ( )
1 2 1
1
n
nI x f x dx−
−
= ∫ . Demonstrați că
lim 0n
n I
→+∞ = .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 2 2
3 2 2 9 8
a −
= + + =
− 3p
3 2 2 3 2 2 6= + + − = , care este număr natural 2p
2. ( )( ) ( )( ) ( )1 1 3 7f f f f f= = =
 3p
( )2 5f = , deci ( )( ) ( )1 2 2f f f= +
 2p
3. 2
2 1 2
3 3 2 1x x x x+
= ⇔ = + 2p
2
2 1 0x x− − = , de unde obținem 1
2
x = − sau 1x = 3p
4. Numărul submulţimilor cu două elemente ale mulţimii A este 2
nC 2p
( ) 2! 10 20 0
2! 2 !
n n n
n = ⇔ − − =
− și, cum n este număr natural, obţinem 5n = 3p
5. AM AN= , deci 4a = 3p
( )4,3A , deci 2 2
3 4 5AO = + = 2p
6. ( )2 2
3cos 2 4cos 2 4cos 3cos 0 cos 4 cos 3 0x x x x x x− = − ⇔ − = ⇔ − = 3p
Cum 0, 2
x
π 
∈ 
  , obținem 3
cos 4
x = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 2 0 1 2 0
0 0 1 1 det 0 0 1 1
0 5 2 0 5 2
A A
 
 
= ⇒ = = 
 − − − − 
2p
( ) ( )2 0 0 0 5 0 3= − + + − − − − = 3p
b)
( )( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1 1
det 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
2 5 2 2 5 2 5 2 2
a a a a a a
A a a a a a a
a a a a a a a a a
− − − +
= − − − = − − = − =
− − − − − −
2p
( ) ( )( ) ( )( )( )21 1
1 1 3 8 3 1 3 3 1
5 2 2
a a
a a a a a a a
a a
− +
= − − = − − − = − − +
− − , pentru orice număr
real a
3p
c) Sistemul are soluție unică ( ) ( )( )0 0 0, , det 0x y z A a⇔ ≠ , deci, pentru a ∈ ℕ , obținem
{ }\ 1, 3a ∈ ℕ și, cum 0x , 0y , 0z ∈ ℕ și 0 0 0 2ax y z a+ + = − , obținem 2 a− ∈ℕ 3p
2a = , care nu convine, 0a = care convine 2p
2.a) ( ) ( )0 0
2 20 0 log 2 2 log 1 1∗ = + = + = 3p
2log 2 1= = 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( )2 2log 2 2 log 2 2x y y x
x y∗ = + = + = 3p
y x= ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
2 2 2 2log 2 2 log 2 1 log 2 2 log 2 3x x x x x x
x x x x x x x+ +
∗ ∗ = + ∗ = ∗ = + ∗ = + = ⋅ ,
unde x este număr real
3p
( )2 2log 2 3 3 log 3x ⋅ = + , de unde obținem 3x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 3
4 2
4 2'
2 1
x x
f x
x x
−
= =
− + 3p
( ) ( )2 2
4 2 4 2
2 2 1 2 1
2 1 1
x x x x
x x x x
− −
= =
− + − +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )1 1f = , ( )' 1 1f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )'1 1 1y f f x− = − , adică y x= 3p
c) ( ) 1' 0 2
f x x= ⇔ = − , 0x = sau 1
2
x = și ( )lim
x
f x
→−∞
= +∞ , f este continuă pe ℝ , f
este strict descrescătoare pe 1
, 2
 
−∞ − 
  și pe 1
0, 2
 
 
  , f este strict crescătoare pe
1 ,0
2
 
− 
  și pe 1 ,
2
 
+∞ 
  și ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞
3p
Cum 1 3
22
f m
 
− = < 
  , ( )0 1f m= > și 1 3
22
f m
  = < 
  , obținem că, pentru orice
3 ,1
2
m  
∈  
 
, ecuaţia ( )f x m= are exact patru soluţii reale
2p
2.a)
( )
2 22 3
2 2
1 1
22 5 2 5 5
3 1
x x x
x dx x x dx x x
x
 + +
⋅ = + + = + + =  
 
∫ ∫ 3p
8 1 7 31
4 10 1 5 8
3 3 3 3
= + + − − − = + = 2p
b)
( ) ( )21 1 1
2 2
0 0 0
'2 51 1
22 5 2 5
x xx
g x dx dx dx
x x x x
+ ++
= = =
+ + + +
∫ ∫ ∫ 3p
( )2 11 1 8
ln 2 5 ln
2 2 50
x x= + + = 2p
c) 2 0n
x ≥ și
2 2
2
2
2 5 4 0 42 5
n n
x x
x x x x
+ + ≥ ⇒ ≤ ≤
+ + , pentru orice [ ]1,1x ∈ − și orice n ∗
∈ ℕ 2p
( )
1 1 2
2 1
1 1
0 4
n
n x
x f x dx dx−
− −
≤ ≤∫ ∫ și, cum ( )
1 2
1
1
4 2 2 1
n
x dx n−
= +∫ și ( )
1
lim 0
2 2 1n n→+∞
=
+ , obținem
lim 0n
n I
→+∞ =
3p