Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2020 – 24 iunie 2020, varianta 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul ( )( )1 2 1 2z i i= − + este natural, unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x a= + , unde a este număr real. Determinați numărul real
a , știind că ( ) ( )1 7f x f x+ − = , pentru orice număr real x .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 5 2x x−
+ = .
5p 4. Se consideră mulțimea { }1,2,3,4,5A = . Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale
lui A , care îl conțin pe 1.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )4, 4M − . Determinaţi ecuaţia dreptei d care trece
prin punctul M și este perpendiculară pe dreapta OM .
5p 6. Triunghiul ABC este dreptunghic în A și sin cosB B= . Arătați că triunghiul ABC este isoscel.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2 2 2
1 2
1 2 3
1 2 4
a a a
A a a a a
+ + 
 
= + + + 
 
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = − .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr real a , matricea ( )A a este inversabilă.
5p c) Determinați numerele întregi a pentru care inversa matricei ( )A a are toate elementele numere
întregi.
2. Pe mulțimea [ )1,A = +∞ se definește legea de compoziție 3 3 3 331 9
2
x y x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 1 2020 1∗ = .
5p b) Demonstrați că ( )( )3 33 1 1 1 1
8
x y x y∗ = − − + , pentru orice ,x y A∈ .
5p c) Determinaţi x A∈ pentru care x x x∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f +∞ → ℝ , ( ) 1 1
ln
2
x
f x x x
−
= +
− .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )2
3 4
'
1 2
x
f x
x x x
− +
=
− −
, ( )2,x ∈ +∞ .
5p b) Determinaţi ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Demonstrați că 1 ln
2 1
x
x x
>
− − , pentru orice ( )2,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 3 1
x
f x
x
=
+
.
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 3 2
0
1
1 3
x f x dx+ =∫ .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
1 2
0
1 ln 2
3
f x dx =∫ .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul ( )
1
0
n
nI f x dx= ∫ . Demonstrați că
lim 0n
n I
→+∞ = .

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2 1z i i= − = − = − − = 3p
1 2 3= + = , care este număr natural 2p
2. ( ) ( ) ( )1 3 3 1 2 3f x f x x a x a a+ − = + + − + = + , pentru orice număr real x 3p
2 3 7 2a a+ = ⇒ = 2p
3. ( )2
5 5 2 0 5 1 0x x x−
+ − = ⇔ − = 3p
5 1x = , deci 0x = 2p
4. Numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui A , care îl conțin pe 1, este egal cu numărul
submulțimilor cu două elemente ale mulţimii { }2,3,4,5 , deci este egal cu 2
4C = 3p
( )
4! 6
2! 4 2 !
= =
− 2p
5. 1OMm = − și, cum 1OM dm m⋅ = − , obținem 1dm = 2p
Ecuația dreptei d este ( )M d My y m x x− = − , deci 8y x= + 3p
6. sin AC
B BC
= 2p
cos AB
B AB AC
BC
= ⇒ = , deci triunghiul ABC este isoscel 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 2 0 1 2
0 1 2 3 det 0 1 2 3
1 2 4 1 2 4
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
0 4 3 4 0 4 1= + + − − − = − 3p
b) ( )( ) ( )2
det 1A a a a= − − + , pentru orice număr real a 3p
2 1 0a a− + ≠ , pentru orice număr real ( )( )det 0a A a⇒ ≠ , deci matricea ( )A a este
inversabilă, pentru orice număr real a 2p
c) Cum a ∈ ℤ , inversa matricei ( )A a are toate elementele numere întregi dacă ( )( )det A a este
divizor al lui 1 și, cum ( )( )det 0A a < , pentru orice număr real a , obținem că ( )( )det 1A a = − 3p
0a = sau 1a = , care convin 2p
2.a) 3 3 3 3 31
1 2020 1 2020 1 2020 9
2
∗ = ⋅ − − + = 3p
3 31 1
1 9 8 1
2 2
= − + = = 2p

Ministerul Educaţiei și Cercetării
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 33 3
1 1
1 8 1 1 8
2 2
x y x y x y x y y∗ = − − + + = − − − + = 3p
( )( ) ( )( )3 3 3 33 3
1 1 1
1 1 8 1 1 1
8 8 8
x y x y= − − + ⋅ = − − + , pentru orice ,x y A∈ 2p
c)
( )233 1 1 1
8
x x x∗ = − + , pentru orice x A∈ , deci ( )23 31 1 1
8 x x− + = 2p
( ) ( )
23 3
1 8 1x x− = − , deci 3 1 0x − = sau 3 1 8x − = , de unde 1x = sau 3 9x = , care convin 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
2
2 2 2
1 1 21
' 12 1 2
x x x x xx
f x x xx x x x
− − − − + −−
= + ⋅ = =
−− − − 3p
( )( ) ( )( )
2 2
2 2
4 4 3 4
1 2 1 2
x x x x x
x x x x x x
− + + − + − +
= =
− − − −
, ( )2,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) 1 1 1 1
lim lim ln lim ln 1 0
2 2x x x
x
f x x x x x→+∞ →+∞ →+∞
 −   
= + = + − =    
− −     3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( ) ( )2, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ < , deci f strict descrescătoare pe ( )2, +∞ și, cum ( )lim 0
x
f x
→+∞
= ,
obținem că ( ) 0f x > , pentru orice ( )2,x ∈ +∞ 3p
1 1
ln 0
2
x
x x
−
+ >
− , deci 1 1
ln
2
x
x x
−
> −
− , de unde obținem că 1 ln
2 1
x
x x
>
− − , pentru orice
( )2,x ∈ +∞
2p
2.a)
( ) ( ) ( ) 21 1 1
3 2 3 2
3
0 0 0
1 1
1
x
x f x dx x dx x dx
x
 
+ = + = = 
 
+ 
∫ ∫ ∫ 3p
3 1 1
3 30
x
= = 2p
b)
( ) ( )31 1 12
2
3 3
0 0 0
'11
31 1
xx
f x dx dx dx
x x
+
= = =
+ +
∫ ∫ ∫ 3p
( )3 11 1
ln 1 ln 2
3 30
x= + = 2p
c)
( )
1 1
3
0 0 1
n
n
n n
x
I f x dx dx
x
= =
+
∫ ∫ și, cum 3
0
1
n n
n
x x
x
≤ ≤
+
, pentru [ ]0,1x ∈ și, pentru fiecare
număr natural nenul n , obținem că
1
0
0 n
nI x dx≤ ≤ ∫
3p
1
0 1
nI n
≤ ≤ + , pentru fiecare număr natural nenul n și, cum 1
lim 0
1n n→+∞
=
+ , obținem
lim 0n
n I
→+∞ = 2p