Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M4 Pedagogic 2020

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 2a = și 3 8a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 5f x x= + . Determinați numărul real m pentru care
( ) ( ) ( )1 1f m f f= + − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
2log 4 3x + = .
5p 4. Un obiect costă 2000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori,
succesiv, cu câte 10% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )1,1B − , ( )1, 1C − − și ( )1, 1D − . Calculați
perimetrul patrulaterului ABCD .
5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC dreptunghic în A , ştiind că ( ) 45m B = °∢ şi 4 2BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă ( )2 8 36x y xy x y∗ = − + + .
5p 1. Arătați că 0 4 4∗ = .
5p 2. Demonstrați că ( )( )2 4 4 4x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Verificaţi dacă 9
2
e = este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.
5p 4. Determinaţi numerele reale x pentru care ( ) ( )1 1 10x x− ∗ + = .
5p 5. Determinați numerele reale x pentru care 2 2 2
3 3 3 0x x x
∗ ∗ = .
5p 6. Dați exemplu de numere raționale p și q , care nu sunt întregi, pentru care numărul p q∗ este
întreg.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele ( ) 2
2 2
a
A a  
=  
 
și ( ) 2
2 2
b
B b  
=  
 
, unde a şi b sunt numere reale.
5p 1. Arătați că ( )( )det 3 2A = .
5p 2. Arătaţi că ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2A B A B⋅ = + .
5p 3. Determinați inversa matricei ( )1A .
5p 4. Demonstrați că ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )det det detA a B b A a B b+ = + dacă și numai dacă a b= .
5p 5. Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care matricea ( ) ( ) ( )C a B a A a= ⋅ este inversabilă.
5p 6. Determinați numerele naturale nenule n pentru care ( )( ) 2
det 7A n n> − .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 3
3
3 2 8 3
2 2
a a
S + ⋅ + ⋅
= = = 3p
15= 2p
2. ( )5 1 5 1 5m + = + + − + 3p
5m = 2p
3. 2 3 2
4 2 4 0x x+ = ⇒ − = 3p
2x = − sau 2x = , care convin 2p
4. După prima scumpire cu 10% , prețul obiectului este 2000 10% 2000 2 200+ ⋅ = de lei 3p
După a doua scumpire cu 10% , prețul obiectului este 2 200 10% 2 200 2 420+ ⋅ = de lei 2p
5. 2AB BC CD DA= = = = 3p
4 2 8ABCDP = ⋅ = 2p
6. 4AB AC= = 2p
4 4 8
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
= = =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )0 4 2 0 4 8 0 4 36∗ = ⋅ ⋅ − + + = 3p
0 32 36 4= − + = 2p
2. 2 8 8 32 4x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )2 4 8 4 4 2 4 4 4x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )
9 9
2 4 4 4 4 4
2 2
x x x x
 
∗ = − − + = − + = 
  , pentru orice număr real x 2p
( )
9 9
2 4 4 4 4 4
2 2
x x x x
 
∗ = − − + = − + = 
  , pentru orice număr real x , deci 9
2
e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”
3p
4. ( )( ) 2
2 1 4 1 4 4 10 8 12 0x x x x− − + − + = ⇔ − + = 3p
2x = sau 6x = 2p
5.
( )2 2 2 2
3 3 2 3 4 4x x x
∗ = − + , ( )2 2 2 2 3
3 3 3 4 3 4 4x x x x
∗ ∗ = − + , unde x este număr real 2p
( )2 23
3 4 1 3 3x x
− = − ⇔ = , de unde obținem 1x = − sau 1x = 3p
6. ( )( )2 4 4p q p q∗ ∈ ⇔ − − ∈ℤ ℤ ; de exemplu, 3
4 2
p − = , 2
4 3
q − = 2p
11 \
2
p = ∈ ℚ ℤ , 14 \
3
q = ∈ ℚ ℤ și 6p q∗ = , care este număr întreg 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
3 2 3 2
3 det 3 3 2 2 2
2 2 2 2
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
6 4 2= − = 2p
2. ( ) ( ) 2 2 2 2 8 8
2 2 2 2 2 2 8 8
A B      
⋅ = ⋅ =     
      2p
( ) ( )( ) 4 4 8 8
2 2 2 2 4 4 8 8
A B    
+ = ⋅ =   
   
, deci ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2A B A B⋅ = + 3p
3. ( ) ( )( )
1 2 1 2
1 det 1 2
2 2 2 2
A A
 
= ⇒ = = − 
  2p
( )1
1 1
1 1
1 2
A−
− 
 =  − 
 
3p
4. ( ) ( )( ) 2 2
det 4 4
4 4
a b
A a B b a b
+ +
+ = = − , ( )( ) ( )( )det det 2 2A a B b a b+ = − 3p
4 4 2 2a b a b a b− = − ⇔ = 2p
5. ( ) ( )( ) 22 2 4 4 2 4 4 2
det 4 16 16
2 2 2 2 2 4 8 2 4 8
a a a a a a
C a C a a a
a a
+ +    
= = ⇒ = = − + −    
+ +     3p
Matricea ( )C a este inversabilă ( )( )det 0C a⇔ ≠ , de unde obținem { }\ 2a ∈ ℝ 2p
6. Cum ( )( )det 2 4A n n= − , obținem 2 2
2 4 7 2 3 0n n n n− > − ⇔ − − < 2p
( )1,3n ∈ − și, cum n este număr natural nenul, obținem 1n = sau 2n = 3p