Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2020

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )( )10 2 3 10 2 3 64− ⋅ + ⋅ = .
5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 7 10 0x x− + = . Arătați că ( )1 2 1 22 4x x x x+ − = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 2log 2020 2log 3x − = .
5p 4. Un obiect costă 200 de lei. Determinaţi prețul obiectului după o scumpire cu 10% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 4A şi ( )4, 4B . Calculați distanța de la punctul
( )0,0O la mijlocul segmentului AB .
5p 6. Arătați că sin 60 cos150 0° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2 9
0 2
A − 
=  
− 
și ( ) 3
0
x x
B x x
− 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 4A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )B x B x B x A⋅ − + = .
5p c) Rezolvaţi în ( )2 ℝ
M ecuaţia ( )1B X A⋅ = .
2. Pe mulțimea ( )0,M = +∞ se definește legea de compoziție
2 2
x y
x y xy
+
= .
5p a) Arătaţi că 1 82
3 3 9
= .
5p b) Demonstrați că 2x y ≥ , pentru orice ,x y M∈ .
5p c) Determinați a M∈ , pentru care 2
2
1 2a a = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 12 3f x x x= − + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )' 3 2 2f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )
3
6
lim 15
3x
f x
x→
+ =
− .
5p c) Demonstrați că ( )13 19f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]2, 2x ∈ − .
2. Se consideră funcția :f → ℝR , ( ) 5 1f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
1 5
1
1 0f x x dx
−
− − =∫ .
5p b) Calculați ( )( )
1 2020
0
1x f x x dx− −∫ .
5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției
[ ]: 1, 2g → ℝ , ( ) ( )( )51
g x f x x
x
= − este egal cu 3
2ln 2 2
π  
+ 
  .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 10 2 3 4− ⋅ = 2p
( )( )10 2 3 16 10 2 3 10 2 3 4 16 64+ ⋅ = ⇒ − ⋅ + ⋅ = ⋅ = 3p
2. 1 2 7x x+ = 2p
( )1 2 1 2 1 210 2 14 10 4x x x x x x= ⇒ + − = − = 3p
3. ( ) 2
2 2log 2020 log 3 2020 9x x− = ⇒ − = 3p
2029x = , care convine 2p
4. 10% din 200 reprezintă 10 200 20
100 ⋅ = 3p
Prețul după scumpire este 200 20 220+ = de lei 2p
5. Mijlocul segmentului AB este punctul ( )3, 4M 2p
( ) ( )2 2
3 0 4 0 5OM = − + − = 3p
6. 3
sin 60 2
° = 2p
( ) 3 3 3
cos150 cos 180 30 cos30 sin 60 cos150 0
2 2 2
° = ° − ° = − ° = − ⇒ ° + ° = − = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
2 9
det 2 2 0 9
0 2
A −
= = − ⋅ − − ⋅ =
− 3p
4 0 4= − = 2p
b)
( ) ( ) 2 2
2
6
0
x x
B x B x
x
 −
 ⋅ − =  − 
, ( ) ( ) ( ) 2 2
2
6 3
0
x x x x
B x B x B x
x x
 − + −
 ⋅ − + =  − + 
, x ∈ ℝ 3p
2 2
2
6 3 2 9
0 20
x x x x
x x
 − + − − 
  =    − − + 
, de unde obținem 1x = − 2p
c) ( ) 1 3
1 0 1
B − 
=  
 
, ( )( )det 1 1B = , ( )( ) 1 1 3
1 0 1
B −  
=  
  3p
( )( ) 1 2 3
1 0 2
X B A X
− − 
= ⋅ ⇒ =  
−  2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) 1
9
1 93 13 3 3
+
= =
⋅
 3p
1 82
9 9 9
= + = 2p
b) ( )22 2 2 2 2
2 2 x yx y x y xy
x y xy xy xy
−+ + −
− = − = = 3p
Cum 0x > , 0y > și ( )2 0x y− ≥ , obținem 2x y ≥ , pentru orice ,x y M∈ 2p
c) 2
4 2
4 2
1 1
2 0 0a a
a a
 
+ − = ⇔ − = 
  , deci 4 1a = 3p
1a = − , care nu convine, 1a = , care convine 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )3 2'' 12 3 3 12f x x x x= − + = − = 3p
( ) ( )( )2
3 4 3 2 2x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
6 3 'lim lim 3
3 3x x
f x f x f f
x x→ →
− − −
= = =
− − 3p
( )( )3 3 2 3 2 15= − + = 2p
c) [ ] ( )2, 2 ' 0x f x∈ − ⇒ ≤ , deci f este descrescătoare pe [ ]2,2− 2p
Cum ( )2 19f − = și ( )2 13f = − , obținem ( )13 19f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]2, 2x ∈ − 3p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 1
5 5 5
1 1 1
1 1 1f x x dx x x x dx x dx
− − −
− − = + + − − = =∫ ∫ ∫ 2p
2 1 1 1 0
2 2 21
x
= = − =
− 3p
b)
( )( )
1 1 2026
2020 2025
0 0
1
1 2026 0
x
x f x x dx x dx− − = = =∫ ∫ 3p
1
2026
= 2p
c)
( ) ( )
2 2
2
2
1 1
1 2 1
1 1g x V g x dx dx
x x x
π
π  
= + ⇒ = = + + = 
 
∫ ∫ 2p
21 3
2ln 2ln 2 21
x x x
π
π
   
= + − = +   
    3p