Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2020

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )( )0,3 10 1 0,3 10 1 8⋅ − ⋅ + = .
5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 6 0x x m− + = , unde m este număr real. Determinați
numărul real m pentru care ( )1 2 1 2 12x x x x+ = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 5 10x x− = + .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităților.
5p 5. Determinaţi numărul real a pentru care vectorii ( )1u ai a j= + −

 
 
 și 3 4v i j= +

 
 
 sunt coliniari.
5p 6. Arătaţi că, dacă x este număr real pentru care sin cosx x= , atunci cos 2 0x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
, a b
A a b b a
 
=  
− 
, unde a și b sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )( )det 1,1 3A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2 2
, , ,A a b A b a A ab a b⋅ = − + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinați perechile de numere întregi m și n pentru care ( )( )det , 1A m n = .
2. Se consideră polinomul 3 2
15 80f X X mX= − + − , unde m este număr real.
5p a) Pentru 95m = , arătați că ( )1 1f = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 3 3 3 1 0x x x x x x x x x− + − + − = , unde 1x , 2x
și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinați rădăcinile polinomului f , știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 10x
f x e x= − − .
5p a) Arătaţi că ( )' 0 0f = .
5p b) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției f sunt concurente.
5p c) Demonstrați că ( )( )
3 2
1 1x
e x x x≥ + − + , pentru orice număr real x .
2. Se consideră funcţia ( ) ( ): 0, 0,f +∞ → +∞ , ( ) 9
f x x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
3
1
9 4f x dx
x
 
− = 
 
∫ .
5p b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ( )g : 0, +∞ → ℝ , ( ) ( )
2
g x f x
= , axa
Ox și dreptele de ecuații 1x = și 9x = are aria egală cu 2ln 3 .
5p c) Determinați numărul real a , știind că ( )
3
1
9 5 3 3
arctg 12 2
a
f x x dx
x
π + − 
− = − 
 
∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( )( )0,3 10 1 0,3 10 1 3 1 3 1⋅ − ⋅ + = − + = 3p
2 4 8= ⋅ = 2p
2. 1 2 6x x+ = , 1 2x x m= 2p
6 12m = , deci 2m = 3p
3. ( )4 5 10 20 4 10 5 10x x x x x− = + ⇒ − = + ⇒ = 3p
2x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 7 numere care au cifra zecilor cu 3 mai
mare decât cifra unităților, deci sunt 7 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 7
nr. cazuri posibile 90
p = = 1p
5. 1 4 3 3
3 4
a a a a
−
= ⇔ = − 3p
3a = − 2p
6. 2 2
cos 2 cos sinx x x= − = 2p
( )( ) ( )cos sin cos sin 0 cos sin 0x x x x x x= − + = ⋅ + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
1 2 1 2
1,1 det 1,1 1 1 1 2
1 1 1 1
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − − ⋅ = 
− −  3p
1 2 3= + = 2p
b)
( ) ( ) 2 2
2 2
2 2 2 2 2
, ,
2
a b b a ab ab a b
A a b A b a b a a b b a ab ab
 − +    ⋅ = = =    − −   − − − + 
3p
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
,
ab a b
A ab a b
a b ab
 − +
 = = − + 
 − + −
 
, pentru orice numere reale a și b 2p
c) ( )( ) 2 22
det , 2
m n
A m n m n
n m
= = +
− 2p
Cum m și n sunt numere întregi, din 2 2
2 1m n+ = obținem 1m = − , 0n = sau 1m = , 0n = 3p
2.a) ( )3 2 3 2
15 95 80 1 1 15 1 95 1 80f X X X f= − + − ⇒ = − ⋅ + ⋅ − = 2p
1 15 95 80 1= − + − = 3p
b) 1 2 3 15x x x+ + = și 1 2 2 3 1 3x x x x x x m+ + = 2p
( ) ( )2
1 2 3 1 2 2 3 1 33 0 225 3 0x x x x x x x x x m+ + − + + = ⇔ − = , deci 75m = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 2 1 32x x x= + și 1 2 3 215 5x x x x+ + = ⇒ = 2p
1 2 3 1 380 16x x x x x= ⇒ = și, cum 1 3 10x x+ = , polinomul f are rădăcinile 2 , 5 și 8 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( )' 1x
f x e= − , x ∈ ℝ 3p
( ) 0' 0 1 0f e= − = 2p
b) ( )'' 0x
f x e= > , pentru orice număr real 'x f⇒ este strict crescătoare, deci 'f este injectivă 2p
Pentru orice numere reale 1x și 2x , ( ) ( )1 2 1 2' 'x x f x f x≠ ⇒ ≠ , deci tangentele la graficul
lui f în punctele de coordonate ( )( )1 1,x f x și ( )( )2 2,x f x au pante diferite, deci sunt
concurente
3p
c) ( )' 0 0f x x= ⇔ = 1p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ],0x f∈ −∞ ⇒ este descrescătoare pe ( ],0−∞ , ( )' 0f x ≥ , pentru
orice [ )0,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )0,+∞ și, cum ( )0 9f = − , obținem ( ) 9f x ≥ − ,
pentru orice număr real x
2p
( ) 3
3 3
9 1x
f x e x≥ − ⇒ ≥ + , deci ( )( )
3 2
1 1x
e x x x≥ + − + , pentru orice număr real x 2p
2.a)
( )
3 3 3 2
1 1 1
39 9 9
2 1
x
f x dx x dx xdx
x x x
   
− = + − = = =   
   
∫ ∫ ∫ 3p
9 1 4
2 2
= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
9 9 2
2 2
1 1
92 2 ln 9
9 9 1
x x
g x g x dx dx x
x x
= ⇒ = = = + =
+ +
∫ ∫
A 3p
ln 90 ln10 ln 9 2ln 3= − = = 2p
c)
( )
3 3 32 2 2 2
2
1 1 1
' 3 31 1 1 1
arctg arctg arctg arctg
2 2 2 22 11 1
x x x x x
x x dx x dx x dx x
x
   + + + +
= = − = − =      +   
∫ ∫ ∫ 3p
5 3 1
12 2
π −
= − , de unde obținem 4a = 2p