Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M1 Mate-Info 2020

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ este egală cu 30 . Determinaţi 2a .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 6 9f x x x= − + . Arătați că ( )( )3 9f f = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )2 2log 6 6 log 6x x− = − + .
5p 4. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii
{ }0,1, 2,3, 4,5 .
5p 5. Se consideră triunghiul ABC , punctul D mijlocul laturii AC și punctul E mijlocul segmentului
BD . Arătați că 1 1
4 2
CE CA BC= −
   .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 2 3AB = , 4
A
π
= și 5
12
B
π
= . Determinaţi raza cercului
circumscris triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2 1
4 1
1 1
a
A a a
a
 
 
=  
 − 
și sistemul de ecuații
2 4
4 6
1
ax y z
ax y z
x y az
+ + =
 + + =
 − + =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 0A = .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care matricea ( )A a are rangul 2.
5p c) Determinați numărul real a , știind că sistemul are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z și 2 2 2
0 0 0 3x y z+ + = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )
1 3
2 4
x y xy x y∗ = − + + . Legea de
compoziție este asociativă și are elementul neutru 3
2
e = .
5p a) Demonstrați că 1 1 1
2 2 2
x y x y
  
∗ = − − +  
   , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinaţi numerele reale nenule x pentru care 1 1 1
x x x
x x x
∗ ∗ = ∗ ∗ .
5p c) Arătați că nu există numere întregi x și y , astfel încât x să fie simetricul lui y în raport cu legea
de compoziție „ ∗ ”.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 8 8ln 12 8ln 2f x x x x= − + + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
2 2
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul ( )3,3A și este paralelă cu tangenta la graficul
funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul funcției f .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p c) Se consideră numerele reale a , b și c astfel încât punctul ( ),M a b este situat pe graficul funcției
( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) 2 8ln 2 8lng x x x= − + și punctul ( ),N a c este situat pe graficul funcției
( ): 0,h +∞ → ℝ , ( ) 8 12h x x= − . Demonstraţi că b c≥ , pentru orice [ )2,a ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
4
4
x
f x x
−
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 2
0
11
4 3
x f x dx+ = −∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este concavă pe ( ],0−∞ .
5p c) Pentru fiecare număr natural n , se consideră ( )
2
1
n
nI x f x dx= ∫ . Demonstrați că lim n
n I
→+∞ = −∞ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2020
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
2 2 1 32
2
a a
a a a a
+
= ⇒ = + 3p
1 2 3 2 2 23 30 3 10a a a a a a+ + = ⇔ = ⇔ = 2p
2. ( )3 0f = 2p
( )( ) ( )( ) ( )3 3 0 9f f f f f= = =
 3p
3. ( )( ) 6 2 2
6 6 2 36 64 100 0x x x x− + = ⇒ − = ⇒ − = 3p
10x = − , care nu convine; 10x = , care convine 2p
4. Cifra zecilor, fiind nenulă, se poate alege în 5 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 5 moduri, deci
se pot forma 5 5 25⋅ = de numere 3p
5. 1 1
2 2
CE CD CB= +
   3p
Cum 1
2
CD CA=
  , obținem 1 1 1 1
4 2 4 2
CE CA CB CA BC= + = −
     2p
6. ( ) 3
sin
3 2
C A B C
π
π= − + = ⇒ = 3p
2 2
sin
AB R R
C = ⇒ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 2 1 1 2 1
1 1 4 1 det 1 1 4 1
1 1 1 1 1 1
A A
 
 = ⇒ = = 
 − − 
2p
( ) ( )4 1 2 4 1 2 0= + − + − − − − = 3p
b) ( )( ) ( )2
det 2 1A a a= − , pentru orice număr real a 2p
2 1 0
4 1 ≠ , deci matricea ( )A a are rangul 2 ( )( )det 0A a⇔ = , de unde obținem 1a = − sau
1a =
3p
c) Sistemul are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z , deci { }\ 1,1a ∈ −ℝ și soluția sistemului este
2 2
,1,
1 1a a
 
 
+ + 
3p
2 2
2 2
1 3
1 1a a
   
+ + =   
+ +    și, cum { }\ 1,1a ∈ −ℝ , obținem 3a = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 1 1
2 2 4 2
x y
x y xy∗ = − − + + = 2p
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
x y y x y
      
= − − − + = − − +      
       , pentru orice numere reale x și y 3p
b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x
x x x x x
           
− − − = − − − ⇔ − − − =           
            1p
1 1 0 2
2 x
x − = ⇒ = 1p
1 1
0
2 2
x x− = ⇒ = 1p
1 0 1x x
x − = ⇒ = − sau 1x = 2p
c) Presupunem că există x și y numere întregi, astfel încât x să fie simetricul lui y , deci
x y e∗ = , de unde obținem 1 1 1 3
2 2 2 2
x y
  
− − + =  
  
2p
( )( )
1 1 1 2 1 2 1 4
2 2
x y x y
  
− − = ⇒ − − =  
   , ceea ce nu convine, deoarece x și y sunt
numere întregi și 4 este număr par
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 8
' 2 8f x x x
= − + = 3p
( )22 2 22 8 8 xx x
x x
−− +
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) Dreapta este paralelă cu tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , deci are
panta egală cu ( )' 2f 2p
Cum ( )' 2 0f = , ecuația dreptei este 3y = 3p
c) ( )' 0f x ≥ , pentru orice ( )0,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe ( )0,+∞ și, cum ( )2 0f = ,
obținem ( ) 0f a ≥ , pentru orice [ )2,a ∈ +∞ 2p
( ) ( ) ( )0f a g a h a b c≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ , pentru orice [ )2,a ∈ +∞ 3p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 3
2 2
0 0
1
4 4 4
3 0
x
x f x dx x dx x
 
+ = − = − =  
 
∫ ∫ 3p
1 11
4
3 3
= − = − 2p
b)
( ) ( ) 2
2
4
' 4
x
F x f x x
−
= = + , ( ) ( )
( )22
16
'' '
4
x
F x f x
x
= =
+
, x ∈ ℝ , unde F este o primitivă a lui f 3p
( )'' 0F x ≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ , deci funcția F este concavă pe ( ],0−∞ 2p
c) [ ] ( )2
1,2 4 0n
x x x∈ ⇒ − ≤ și 2
1 1
84x ≥
+ , deci ( ) ( )21 4
8
n n
x f x x x≤ − 2p
( ) ( )( )
2 3 1 4
2
1
21 1 4 1 2 1 4
4 18 8 3 1 8 3 1 3 1
n n n
n
n
x x
I x x dx n n n n n n
+ + +   
≤ − = − = − − +      + + + + + +   
∫ 2p
Cum ( )( )
4
2
lim 3 1
n
n n n
+
→+∞
= +∞
+ + , obținem lim n
n I
→+∞ = −∞ 1p