Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2019 – sesiunea specială, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 7
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 7
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 4 5 75 108 3 25 80 5− + − + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( )f x x a= + , unde a este număr real. Determinați numărul real
a , pentru care ( )1 8f = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1x x− = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8
și 9 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 2y x= − . Determinați coordonatele
punctului de intersecție a dreptei d cu axa Ox .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 6AB = , 8AC = şi 10BC = . Calculați aria triunghiului ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă x y xy x y∗ = + + .
5p 1. Arătați că ( )1 3 1− ∗ = − .
5p 2. Demonstrați că ( )( )1 1 1x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Verificați dacă 0e = este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.
5p 4. Verificați dacă 1
2
− este simetricul lui 1 în raport cu legea de compoziţie „ ∗ ”.
5p 5. Determinați numerele reale x , știind că x x x x∗ ∗ = .
5p 6. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră,
acesta să verifice relația 3n n∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricea ( ) 1 2 2
3 1 3
a a
A a a a
− 
=  
− + 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p 2. Arătați că ( ) ( ) ( )1 5 2 3A A A+ = .
5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( )1 2 5A A A⋅ = .
5p 4. Determinaţi valorile reale ale lui a pentru care matricea ( )A a este inversabilă.
5p 5. Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1A a A A A a A⋅ − = − ⋅ = − , pentru orice număr real a .
5p 6. Determinați numerele naturale nenule n pentru care ( )( )4
det 32A n < .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 5 5 3 6 3 3 5 4 5− + − + − = 3p
( ) ( )4 5 4 5 5 3 6 3 3 5 5= − + − + − + = 2p
2. ( )1 1f a= + 2p
1 8 7a a+ = ⇔ = 3p
3. 2 2
2 1 2 1 0x x x x− = ⇒ − + = 2p
1x = , care convine 3p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 9 moduri 2p
Cum cifrele sunt distincte, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi
aleasă în câte 8 moduri, deci se pot forma 9 8 72⋅ = de numere 3p
5. Dreapta d intersectează axa 0Ox y⇒ = 2p
2 0 2x x− = ⇒ = 3p
6. 2 2 2
100AB AC BC ABC+ = = ⇒ ∆ este dreptunghic în A 3p
6 8 24
2
ABC∆
⋅
= =
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )1 3 1 3 1 3− ∗ = − ⋅ + − + = 3p
3 1 3 1= − − + = − 2p
2. 1 1x y xy x y∗ = + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )( )0 1 0 1 1 1 1x x x x∗ = + + − = + − = , pentru orice număr real x 3p
( )( )0 0 1 1 1 1 1x x x x∗ = + + − = + − = , pentru orice număr real x , deci 0e = este elementul
neutru al legii de compoziţie „ ∗ ” 2p
4. ( )
1 1 1
1 1 1 1 1 2 1 0
2 2 2
   
∗ − = + − + − = ⋅ − =   
    2p
( )
1 1 1
1 1 1 1 1 2 1 0
2 2 2
   
− ∗ = − + + − = ⋅ − =   
    , deci 1
2
− este simetricul lui 1 în raport cu legea
de compoziţie „ ∗ ”
3p
5. ( )2
1 1x x x∗ = + − , ( )3
1 1x x x x∗ ∗ = + − , unde x este număr real 2p
( ) ( )( )3
1 1 1 2 0 2x x x x x x+ − = ⇔ + + = ⇔ = − sau 1x = − sau 0x = 3p
6. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
( )2
1 1 3n + − = și, cum n este număr natural, obținem 1n = , deci este 1 caz favorabil 2p
nr. cazuri favorabile 1
nr. cazuri posibile 10
p = = 1p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) 1 0
0 0 1
A  
=  
  3p
( )( ) 1 0
det 0 1
0 1
A = = 2p
2. ( ) ( ) 1 2 9 10 10 12
1 5 3 4 15 16 18 20
A A − − −     
+ = + = =     
− − −      2p
( )
5 6
2 2 3
9 10 A
− 
= = 
−  3p
3. ( ) ( ) 1 2 3 4
1 2 3 4 6 7
A A − −   
⋅ = ⋅ =   
− −    2p
( )
9 10 5
15 16 A
− 
= = 
−  3p
4. ( )( ) ( )( ) ( )
1 2 2
det 1 2 1 3 3 2 1
3 1 3
a a
A a a a a a a
a a
−
= = − + − − = +
− + , unde a este număr real 3p
Matricea ( )A a este inversabilă ( )( )det 0A a⇔ ≠ , deci { }\ 1a ∈ −ℝ 2p
5. ( ) ( ) ( )
1 2 2 3 2 3 2
1 1
3 1 3 3 2 3 2
a a
A a A A
a a
− − −     
⋅ − = ⋅ = = −     
− + − −     
, pentru orice număr real a 3p
( ) ( ) ( )
3 2 1 2 2 3 2
1 1
3 2 3 1 3 3 2
a a
A A a A
a a
− − −     
− ⋅ = ⋅ = = −     
− − + −     
, pentru orice număr real a 2p
6. ( )( )4 4
det 1A n n= + 2p
4 4
1 32 31n n+ < ⇔ < și, cum n este număr natural nenul, obținem 1n = sau 2n = 3p