Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2019 – sesiunea iunie–iulie, 3 iulie 2019, varianta 6, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 6
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 6
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice cu termeni pozitivi ( ) 1n n
b ≥ , știind că
1 2b = și 3 8b = .
5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( ), 2A m m aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 5 6f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 10 25 5x x− + = .
5p 4. După o ieftinire cu 10% , urmată de o scumpire cu 10 lei, prețul unui obiect este 190 de lei.
Determinați prețul inițial al obiectului.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4, 4A și ( )6,0B . Determinați, în triunghiul
AOB , ecuația medianei din vârful A .
5p 6. Arătați că 2sin 30 sin 90 0° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )2 1x y xy x y= + + + .
5p 1. Arătați că ( )1 1 1− = − .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „  ” este comutativă.
5p 3. Demonstrați că ( )( )2 1 1 1x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p 4. Demonstrați că 1
2
e = − este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p 5. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )1 2 5x x− + = − .
5p 6. Determinați numerele naturale nenule n pentru care ( )1 11n n − ≤ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 1
2 0
A  
=  
 
și 3 1
2 2
B  
=  
 
.
5p 1. Arătați că det 2A = − .
5p 2. Calculați ( )det A B+ .
5p 3. Arătați că A A B⋅ = .
5p 4. Determinați numerele reale a și b pentru care 5 3
6 2
aA bB  
+ =  
 
.
5p 5. Arătați că, dacă ( )2X ∈ ℝ
M astfel încât X A B+ = , atunci matricea X este inversabilă.
5p 6. Determinați valorile reale ale lui a pentru care ( )2det 0A B aI+ − ≤ , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 4b = 2p
3 1 2 3 2 4 8 14S b b b= + + = + + = 3p
2. ( ) 5 6f m m= − 2p
5 6 2 2m m m− = ⇔ = 3p
3. 2 2
10 25 25 10 0x x x x− + = ⇒ − = 2p
0x = sau 10x = , care convin 3p
4. 10 10 190
100
x x− ⋅ + = , unde x este prețul inițial al obiectului 3p
200x = de lei 2p
5. Punctul ( )3,0M este mijlocul segmentului OB 2p
Ecuația medianei este 4 12y x= − 3p
6. 1
sin 30 2
° = 2p
1
sin 90 1 2sin 30 sin 90 2 1 0
2
° = ⇒ ° − ° = ⋅ − = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 1 1 1 1− = ⋅ − ⋅ + − + + =
 3p
( )2 1 1 1= ⋅ − + = − 2p
2. ( ) ( )2 1 2 1x y xy x y yx y x= + + + = + + + =
 3p
y x= 
 , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziţie „ 
 ” este comutativă 2p
3. 2 2 2 2 1x y xy x y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 1 2 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
4. ( )
1 1
2 1 1 1 1 1
2 2
x x x x
   
− = + − + − = + − =   
   

 , pentru orice număr real x 2p
( )
1 1
2 1 1 1 1 1
2 2
x x x x
   
− = − + + − = + − =   
   

 , pentru orice număr real x , deci 1
2
e = − este
elementul neutru al legii de compoziție „ 
 ”
3p
5. ( )( ) 2
2 1 1 2 1 1 5 3 2 0x x x x− + + + − = − ⇔ + + = 3p
2x = − sau 1x = − 2p
6. ( )( ) 2
2 1 1 1 1 11 6 0n n n n+ − + − ≤ ⇔ + − ≤ 2p
[ ]3,2n ∈ − și, cum n este număr natural nenul, obținem 1n = sau 2n = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 1 1
det 1 0 2 1
2 0
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
0 2 2= − = − 2p
2. 4 2
4 2
A B  
+ =  
  3p
( ) 4 2
det 0
4 2
A B+ = = 2p
3. 1 1 1 2 1 1 1 0
2 1 0 2 2 1 0 0
A A ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ 
⋅ = = 
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅  3p
3 1
2 2 B
 
= = 
  2p
4. 3 3
2 0 2 2 2 2 2
a a b b a b a b
aA bB a b b a b b
+ +     
+ = + =     
+      2p
3 5 3
2 2 2 6 2
a b a b
a b b
+ +   
=   
+   
, de unde obținem 2a = și 1b = 3p
5. 2 0
0 2
X B A X  
= − ⇒ =  
  3p
2 0
det 4 0
0 2
X = = ≠ , deci matricea X este inversabilă 2p
6. ( ) 2
2 2
4 2 det 6
4 2
a
A B aI A B aI a a
a
− 
+ − = ⇒ + − = − 
−  3p
[ ]2 6 0 0,6a a a− ≤ ⇔ ∈ 2p