Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2019 – sesiunea specială, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 3 2 3 2 13
: 1
2 3 2 3 5
   
− + ⋅ =   
    .
5p 2. Se consideră funcția ( ): , 2 4f f x x→ = −ℝ ℝ . Determinați numărul real m , știind că ( )1f m m+ = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )7 7log 2 3 log 9x + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10, 20,30, 40,50,60,70,80,90A = ,
acesta să fie multiplu de 3 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,1M , ( )1,5N şi ( )4,5P . Calculați aria
triunghiului MNP .
5p 6. Arătați că 21 sin 60 sin 45 1
3 ⋅ ° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
3 4
A  
=  
 
și ( ) 1
1
a a
M a a a
+ − 
=  
− 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că det 2A = − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )M a M b M a b⋅ = + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM pentru care ( ) ( )1 2M X M A⋅ ⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 4 4 3f X X X= − + − .
5p a) Arătaţi că ( )0 3f = − .
5p b) Demonstrați că numărul
1 2 3
3 3 3
a x x x
= + + este natural, unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile lui f .
5p c) Demonstrați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 6 5
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )
3 3
26
5 1 1
'
5
x x
f x
x
− +
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = situat pe graficul
funcției f .
5p c) Determinați mulțimea valorilor funcției f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 x
f x x e= − .
5p a) Arătați că ( )1
0
1
2x
f x dx
e = −∫ .
5p b) Demonstrați că :F →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2019x
F x x e= − + este o primitivă a funcției f .
5p c) Calculați ( ) ( )
1 2
0
'f x f x dx∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 2 3 2 13 5 13 13
: :
2 3 2 3 5 6 6 5
   
− + ⋅ = ⋅ =   
    3p
5 6 13 1
6 13 5
= ⋅ ⋅ = 2p
2. ( ) ( )1 2 1 4 2 2f m m m+ = + − = − 3p
2 2 2m m m− = ⇔ = 2p
3. 2 3 9 2 6x x+ = ⇒ = 3p
3x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 3 numere multiplu de 3 , deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 9 3
p = = = 1p
5. 4MP = , 3NP = 2p
MPN∆ este dreptunghic în P , deci 4 3 6
2
MPN∆
⋅
= =
A 3p
6. 3
sin 60 2
° = , 2
sin 45 2
° = 2p
2
21 1 3 2 1 1
sin 60 sin 45 1
2 2 2 23 3
 
⋅ ° + ° = ⋅ + = + =  
 
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
det 1 4 2 3
3 4
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
4 6 2= − = − 2p
b) ( ) ( ) 1 1 1
1 1 1
a a b b a b b a
M a M b a a b b a b a b
+ − + − + + − −    
⋅ = = =    
− − + − −     3p
( ) ( )
( ) ( )
1
1
a b a b M a b
a b a b
 + + − + 
= = + 
+ − + 
, pentru orice numere reale a și b 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1
20M a M a M I M a M a
−
⋅ − = = ⇒ = − , pentru orice număr real a 2p
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 11 18
1 2 1 2 17 28
X M A M X M A M X
− − − 
= ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ − ⇒ =  
−  3p
2.a) ( ) 3 2
0 2 0 4 0 4 0 3f = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = 3p
0 0 0 3 3= − + − = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 1 2 2 3 3 1 2x x x x x x+ + = , 1 2 3
3
2
x x x = 2p
( )1 2 2 3 3 1
1 2 3 1 2 3
33 3 3 4
x x x x x x
a x x x x x x
+ +
= + + = = , care este număr natural 3p
c) ( ) ( )22 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 12 2 2 2 0x x x x x x x x x x x x+ + = + + − + + = − ⋅ = 2p
Dacă 1x , 2x și 3x sunt numere reale, atunci 1 2 3 0x x x= = = , ceea ce nu convine deoarece
( )0 3f = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
( ) ( )
6 5 6
2 26 6
5 6 5 5'
5 5
x x x x
f x
x x
+ − ⋅ −
= = =
+ + 3p
( )
( )
( )( )
( )
6 3 3
2 26 6
5 1 5 1 1
5 5
x x x
x x
− − +
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 0f = , ( ) 1' 0 5
f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )'0 0 0y f f x− = − , adică 1
5
y x= 3p
c) ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice ( ], 1x f∈ −∞ − ⇒ este descrescătoare pe ( ], 1−∞ − , ( ) 0f x′ ≥ , pentru
orice [ ]1,1x f∈ − ⇒ este crescătoare pe [ ]1,1− și ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞ ⇒
este descrescătoare pe [ )1, +∞
2p
f continuă pe ℝ , ( )lim 0
x
f x
→−∞
= , ( ) 1
1 6
f − = − , ( ) 1
1 6
f = și ( )lim 0
x
f x
→+∞
= , deci mulțimea
valorilor funcției f este 1 1
,
6 6
 
− 
 
3p
2.a) ( ) ( )
1 1 2
0 0
1
1 2 0
x
f x x
dx x dx x
e
 
= − = − =  
 
∫ ∫ 3p
1 1
1 0
2 2
= − − = − 2p
b) ( ) ( )( ) ( )'' 2 2019 1 2 0x x x
F x x e e x e= − + = ⋅ + − + = 3p
( ) ( )1 x
x e f x= − = , x ∈ ℝ 2p
c)
( ) ( ) ( )1 3
2
0
1
' 3 0
f x
f x f x dx = =∫ 3p
( ) ( ) ( )3 3
1 0 0 1 1
3 3 3
f f− − −
= = = 2p