Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2019 – sesiunea specială, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )6 3 2 1 27 2+ − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= − . Calculați ( ) ( ) ( )0 1 2f f f⋅ ⋅ .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )5 5log 20 6 log 14x − = .
5p 4. După o scumpire cu 10% , un obiect costă 440 de lei. Determinaţi prețul inițial al obiectului.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3, 4A , ( )0,6B şi ( )6,0C . Calculați distanța de la
punctul A la mijlocul segmentului BC .
5p 6. Arătați că cos30 tg 30
1 sin 30
° = °
+ ° .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 2
6 9
M − 
=  
− − 
și ( ) 1 2
2 1
a a
A a a a
+ + 
=  
− + 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că det 21M = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2 0A a A a A− + = , pentru orice număr real a .
5p c) Determinați numerele reale a și b pentru care ( ) ( )A a A b M⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )2 2
xy
x y x y= + − .
5p a) Arătaţi că ( )2 2 2− = .
5p b) Determinați numărul natural nenul n pentru care 1 9
2
n n = .
5p c) Determinați numărul real y astfel încât 8x y = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4
x
f x x
= + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )
( )22
2 2
'
4
x x
f x
x
− +
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați mulțimea valorilor funcției f .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1 1
1 2
f x x x
= −
+ + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
2
0
1
1 2
2
x x f x dx
x
 
+ + = 
+ 
∫ .
5p b) Arătați că ( )
1
0
9
ln 8
x f x dx =∫ .
5p c) Determinați numărul natural p , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa
Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = și 1x = are aria egală cu 2 1
ln 3
p
 
+ 
  .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )6 3 2 1 27 6 3 2 1 3 3+ − = + − = 3p
6 3 2 6 3 2= + − = 2p
2. ( )2 0f = 3p
( ) ( ) ( )0 1 2 0f f f⋅ ⋅ = 2p
3. 20 6 14x − = 3p
1x = , care convine 2p
4. 10 440
100
x x+ ⋅ = , unde x este prețul inițial al obiectului 3p
400x = de lei 2p
5. Mijlocul segmentului BC este punctul ( )3,3M 2p
1AM = 3p
6. 3
cos30 2
° = , 1
sin 30 2
° = , 3
tg 30 3
° = 3p
3
cos30 3 2 32 tg30
11 sin 30 2 3 31 2
° = = ⋅ = = °
+ ° +
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )
1 2
det 1 9 6 2
6 9
M −
= = − ⋅ − − − ⋅ =
− − 3p
9 12 21= + = 2p
b) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 4
2 1 2 1 4 2
a a a a
A a A a a a a a
− + − + + +     
− + = + = =     
− − − + − + −      3p
( )
1 2
2 2 0
2 1 A
 
= = 
− 
, pentru orice număr real a 2p
c) 1 2 1 2 1 2 2 3 3 2 3 3 4 1 2
2 1 2 1 6 9 2 4 2 3 3 6 9
a a b b ab a b ab a b
a a b b ab a b ab b a
+ + + + − − + − + + + −        
= ⇔ =        
− + − + − − − − − − + − − −         2p
Obținem 1a = − , 1b = 3p
2.a) ( ) ( )( ) ( )2 2
2 2 2 2 2 2
⋅ −
− = + − − =
 3p
4 2
2
= = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 1
1 9 1 5
2 2 2 2
n nn n
n n
⋅
 
+ − = ⇔ + = 
 
3p
Cum n este număr natural nenul, obținem 2n = 2p
c) ( ) ( )( )2 8 4 4 16 0 4 4 0
2
xy
x y x y xy x y+ − = ⇔ + − − = ⇔ − − = , pentru orice număr real x 3p
4y = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
( )
2
22
4 2
4
x x x
f x
x
+ − ⋅
′ = =
+ 3p
( )
( )( )
( )
2
2 22 2
2 24
4 4
x xx
x x
− +−
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 2
2
1
lim lim lim 0
44 1
x x x
x
f x x x x
→ −∞ → −∞ → −∞
= = =
 + + 
 
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre −∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice ( ], 2x f∈ −∞ − ⇒ este descrescătoare pe ( ], 2−∞ − , ( ) 0f x′ ≥ , pentru
orice [ ]2, 2x f∈ − ⇒ este crescătoare pe [ ]2,2− și ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice [ )2,x f∈ +∞ ⇒
este descrescătoare pe [ )2, +∞
2p
f continuă pe ℝ , ( )lim 0
x
f x
→−∞
= , ( ) 1
2 4
f − = − , ( ) 1
2 4
f = și ( )lim 0
x
f x
→+∞
= , deci mulțimea
valorilor funcției f este 1 1
,
4 4
 
− 
 
3p
2.a)
( ) ( )
2 2
0 0
1
1 2
x x f x dx x dx
x
 
+ + = = 
+ 
∫ ∫ 2p
2 2
2
2 0
x
= = 3p
b)
( )
1 1 1
0 0 0
1 2
1 1
1 2 1 2
x x
x f x dx dx dx
x x x x
   
= − = − − + =   
+ + + +   
∫ ∫ ∫ 2p
( ) ( )( ) 1 9
ln 1 2ln 2 2ln 3 3ln 2 ln 80
x x= − + + + = − = 3p
c)
( ) ( ) ( )( )
1 1
0 0
11 1 4
ln 1 ln 2 ln
1 2 30
f x dx dx x x
x x
 
= = − = + − + = 
+ + 
∫ ∫
A 3p
2 2 21 4 1 4
ln ln 1 0
3 3 3 3
p p p
 
+ = ⇔ + = ⇔ − = 
  și, cum p este număr natural, obținem 1p = 2p