Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2019 – sesiunea specială, 28 mai 2019, varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1
1 : 1 1
3 4 12
   
− + − =   
    .
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= + . Arătaţi că ( ) ( ) ( )2 2 4 0f f f− + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )22
8 8log 27 log 3x x− = − .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10,11,12,13,14,15,16,17,18,19M = ,
acesta să fie număr par.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,3A şi ( )8,3B . Determinaţi coordonatele
punctului C , știind că punctul B este mijlocul segmentului AC .
5p 6. Arătați că 2 2
cos 30 sin 60 2cos30 sin 60 0° + ° − ° ⋅ ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2 1
1 2
M  
=  
 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1
3 2
a
A a  
=  
 
unde a este număr real.
5p a) Arătați că det 3M = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( ) 24A a A a A a I⋅ = − .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )( )det 0aA a M+ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
4 2f X X mX= − + + , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )2 2 6f m= − , pentru orice număr real m .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr real m , numărul 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3E x x x x x x x x x= + + este întreg, unde
1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
5p c) Pentru 3m = , determinați rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
7 5 1f x x x x= − + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 7 1f x x x= − − , x ∈ ℝ .
5p b) Calculați ( )
( )
'
lim
x
x f x
f x→+∞
.
5p c) Demonstrați că ( ) 52
49
f x ≤ , pentru orice 1
, 3
x  
∈ −∞ 
  .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( ]
( )
2 8 2, ,0
2, 0,
x x x
f x x x
 + − ∈ −∞
=  − ∈ +∞
.
5p a) Arătaţi că ( )
2
1
1
2
f x dx = −∫ .
5p b) Demonstrați că funcția f admite primitive pe ℝ .
5p c) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii
1x = − şi 0x = are aria egală cu 17
3 .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 1 12 4 3 11
1 : 1 :
3 4 12 12 12
− +   
− + − = =   
    3p
11 12 1
12 11
= ⋅ = 2p
2. ( ) ( )2 2 8 8f f− + = + = 2p
( )16 4 4 4 0f= = ⋅ = 3p
3. ( )22 27 3 6 36 0x x x− = − ⇒ − = 3p
6x = , care convine 2p
4. Mulțimea M are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
În mulțimea M sunt 5 numere pare, deci sunt 5 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5 1
nr. cazuri posibile 10 2
p = = = 1p
5. 4
8 12
2
C C
x x
+
= ⇒ = 3p
3
3 3
2
C C
y y
+
= ⇒ = 2p
6. 3
cos30 2
° = , 3
sin 60 2
° = 2p
( )
2
22 2 3 3
cos 30 sin 60 2cos30 sin 60 cos30 sin 60 0
2 2
 
° + ° − ° ⋅ ° = ° − ° = − =  
 
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 1
det 2 2 1 1
1 2
M = = ⋅ − ⋅ = 3p
4 1 3= − = 2p
b)
( ) ( ) 2 3 2
3 6 7
a a
A a A a a
 + +
⋅ =   +  2p
( ) 2
4 1 4
4 12 7
a
A a I − 
− =  
 
, deci
2 4 1 43 2
12 73 6 7
aa a
a
  − + + =    +   
, de unde obținem 2a = 3p
c)
( ) ( )( ) ( )( )
2 22 1 det 1 2 3 3
3 1 2 2
a a
aA a M aA a M a a a
a a
 + +
+ = ⇒ + = + − +  + +  3p
Cum 2
2 3 3 0a a− + ≠ , pentru orice număr real a , obținem 1a = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) 3 2
2 2 4 2 2 2f m= − ⋅ + ⋅ + = 3p
8 16 2 2 2 6m m= − + + = − , pentru orice număr real m 2p
b) 1 2 3 4x x x+ + = , 1 2 3 2x x x = − 2p
Pentru orice număr real m , ( )1 2 3 1 2 3 8E x x x x x x= + + = − , care este număr întreg 3p
c) ( )( )3 2 2
4 3 2 2 2 1f X X X X X X= − + + = − − − 2p
1 1 2x = − , 2 2x = , 3 1 2x = + 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2' 7 3 5 2 1f x x x= ⋅ − ⋅ + = 2p
( )( )2
21 10 1 3 1 7 1x x x x= − + = − − , x ∈ ℝ 3p
b)
( )
( )
( )( ) 3
3 2 3
2 3
1 1
3 7' 3 1 7 1
lim lim lim 5 1 17 5 1 7
x x x
x
x f x x x x x x
f x x x x x x x x
→+∞ → +∞ → +∞
  
− −  − −   = = =
 − + + − + + 
 
2p
2 3
1 1
3 7
lim 3
5 1 1
7
x
x x
x x x
→ +∞
  
− −  
  = =
− + +
3p
c) ( ) 0f x′ ≥ , pentru orice 1
, 7
x f
 
∈ −∞ ⇒ 
  este crescătoare pe 1
, 7
 
−∞ 
  și ( ) 0f x′ ≤ , pentru
orice 1 1
,
7 3
x f
 
∈ ⇒ 
  este descrescătoare pe 1 1
,
7 3
 
 
 
2p
Cum ( ) 1
7
f x f  
≤  
  , pentru orice 1
, 3
x  
∈ −∞ 
  și 1 52
7 49
f   = 
  , obținem ( ) 52
49
f x ≤ , pentru
orice 1
, 3
x  
∈ −∞ 
 
3p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
1 1
2
2 2
2 1
x
f x dx x dx x
 
= − = − =  
 
∫ ∫ 3p
( ) 1 1
2 4 2
2 2
 
= − − − = − 
  2p
b) Cum ( ) ( )2
0 0
0 0
lim lim 8 2 2
x x
x x
f x x x
→ →
< <
= + − = − , ( ) ( )
0 0
0 0
lim lim 2 2
x x
x x
f x x
→ →
> >
= − = − și ( )0 2f = − , obținem
( ) ( )
0
lim 0
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în 0x =
3p
Cum funcția f este continuă pe ( ),0−∞ și pe ( )0,+∞ , obținem că f este continuă pe ℝ ,
deci funcția f admite primitive pe ℝ 2p
c)
( ) ( )
0 0 0
2 2
1 1 1
8 2 8 2f x dx x x dx x x dx
− − −
= = + − = − − + =∫ ∫ ∫
A 2p
3 2 08 17
2
3 2 31
x x x
 
= − − + =   − 
3p