Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2019 – sesiunea iunie–iulie, 3 iulie 2019, varianta 6, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )7 7 1 7 7+ − = .
5p 2. Se consideră funcția : ,f →ℝ ℝ ( ) 2 6 8f x x x= − + . Determinați coordonatele punctului de
intersecție a graficului funcției f cu axa Oy .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
5log 9 2x + = .
5p 4. După o ieftinire cu 40% , preţul unui obiect este 300 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de
ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3, 2A , ( )3, 2B − şi ( )0,6C . Determinaţi, în
triunghiul ABC , lungimea medianei din vârful C .
5p 6. Arătați că 3 2 1
sin 60 sin 45
2 2 4
⋅ ° − ⋅ ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 6 10
3 5
A − 
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2M a I aA= + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )M a M b M a b ab⋅ = + + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2019 2019M M M M a+ + + =… .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 2f mX X mX= + − − , unde m este număr real nenul.
5p a) Arătați că ( )1 0f = , pentru orice număr real nenul m .
5p b) Pentru 3m = , determinaţi rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinați numărul real nenul m pentru care
1 2 3
1 1 1 4
x x x
+ + = − , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 5f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ ℝ .
5p b) Demonstrați că funcția f este convexă pe [ )0,+∞ .
5p c) Demonstrați că ( ) 7f x ≤ , pentru orice ( ],1x ∈ −∞ .
2. Se consideră funcția :f → ℝR , ( ) 2
3 6 7f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )
1 2
0
11f x dx =∫ .
5p b) Calculați ( )
1
1
1x dx
f x−
+
∫ .
5p c) Demonstrați că, pentru orice ( )0,a ∈ +∞ , suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa
Ox și dreptele de ecuații 0x = și x a= are aria mai mare sau egală cu 7a .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )7 7 1 7 7 7 7 7+ − = ⋅ + − = 2p
7 0 7= + = 3p
2. ( )0 8f = 3p
Coordonatele punctului de intersecție cu axa Oy sunt 0x = și 8y = 2p
3. 2 2 2
9 5 16 0x x+ = ⇒ − = 2p
4x = − sau 4x = , care convin 3p
4. 40 300
100
x x− ⋅ = , unde x este prețul obiectului înainte de ieftinire 3p
500x = de lei 2p
5. ( )0, 2M , unde punctul M este mijlocul laturii AB 2p
4CM = 3p
6. 3
sin 60 2
° = , 2
sin 45 2
° = 2p
3 2 3 3 2 2 3 2 1
sin 60 sin 45
2 2 2 2 2 2 4 4 4
⋅ ° − ⋅ ° = ⋅ − ⋅ = − = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
6 10
det 6 5 3 10
3 5
A −
= = ⋅ − − ⋅ − =
− 3p
30 30 0= − + = 2p
b) A A A⋅ = și ( ) ( ) ( )( )2 2 2M a M b I aA I bA I aA bA abA A⋅ = + + = + + + ⋅ = 2p
( ) ( )2 2I aA bA abA I a b ab A M a b ab= + + + = + + + = + + , pentru orice numere reale a și b 3p
c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2019 2019 1 2 2019I A I A I A I A+ + + + + + = + + + + =… … 3p
( ) ( )22019 1010 2019 1010I A M= + = , de unde obținem 1010a = 2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 2 1 1 2f m m= ⋅ + ⋅ − ⋅ − = 3p
2 2 0m m= + − − = , pentru orice număr real nenul m 2p
b) ( )( )( )3 2
3 2 3 2 1 1 3 2f X X X f X X X= + − − ⇒ = − + + 2p
1 1x = − , 2
2
3
x = − , 3 1x = 3p
c) 1 2 1 3 2 3 1x x x x x x+ + = − , 1 2 3
2
x x x m
= 2p
1 2 1 3 2 3
1 2 3
4 4 8
2
x x x x x x m m
x x x
+ + −
= − ⇔ = − ⇔ = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2' 3 3f x x= − = 3p
( ) ( )( )2
3 1 3 1 1x x x= − = − + , x ∈ ℝ 2p
b) ( )'' 6f x x= , x ∈ ℝ 2p
( )'' 0f x ≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ , deci funcția f este convexă pe [ )0,+∞ 3p
c) ( ) 0f x′ ≥ , pentru orice ( ], 1x f∈ −∞ − ⇒ este crescătoare pe ( ], 1−∞ − și ( ) 0f x′ ≤ , pentru
orice [ ]1,1x f∈ − ⇒ este descrescătoare pe [ ]1,1− 2p
( ) ( )1f x f≤ − , pentru orice ( ],1x ∈ −∞ și ( )1 7f − = , deci ( ) 7f x ≤ , pentru orice ( ],1x ∈ −∞ 3p
2.a)
( ) ( )
1 1 3 2
2 2
0 0
13 6
3 6 7 7
3 2 0
x x
f x dx x x dx x
 
= + + = + + =  
 
∫ ∫ 3p
1 3 7 0 11= + + − = 2p
b)
( )
1 1 2
2
1 1
11 1 1 3 6 7
3 13 6 7
x x
dx dx x x
f x x x− −
+ +
= = + + =
−+ +
∫ ∫ 3p
( )1 2
16 4
3 3
= − = 2p
c) 2
3 6 7 7x x+ + ≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ 2p
( ) 2
0 0 0
3 6 7 7 7
a a a
f x dx x x dx dx a= = + + ≥ =∫ ∫ ∫
A , pentru orice ( )0,a ∈ +∞ 3p