Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2019 – sesiunea specială, 28 mai 2019, varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2
1 2 0i i+ − = , unde 2 1i = − .
5p 2. Determinați numărul real nenul m , știind că abscisa vârfului parabolei asociate funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 8 7f x mx x= + − este egală cu 12 .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
4log 10 40 2x x− + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2,3, ,100M = … , acesta să fie
număr impar.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 1A − , ( )2,0B − și ( )0,3C . Determinaţi
lungimea vectorului BD
 , știind că ABCD este paralelogram.
5p 6. Arătați că sin 3 sin 2 sin 3x x x+ + = , știind că 0, 2
x
π 
∈ 
  și 3
sin 2
x = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
, 1 1
3 3
A  
=  
 
și ( ) 2M a I aA= + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 5M = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )4M a M b M a b ab= + + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care ( ) ( ) ( )2M a M a M= .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 5 5 20x y x y xy∗ = + − − .
5p a) Arătați că ( )( )5 5 5x y x y∗ = − − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x x x∗ ≥ .
5p c) Calculați ( ) ( ) ( )1 2 3 4 2018 2019∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 6 9
x
x x
f x e
+ +
= .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )1 3
x
x x
f x e
− + +
′ = , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Demonstrați că ( )( )
2
20 3 3 4
x y
x y e
+ +
≤ + + ≤ , pentru orice [ ), 3,x y ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 3
1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
0
1 4x f x dx+ =∫ .
5p b) Arătaţi că funcția ( ): 1,F − +∞ → ℝ , ( ) ( )
3 2
ln 1
3 2
x x
F x x x= − + − + este o primitivă a funcției f .
5p c) Determinați numărul real a , 1a > , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției
( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( )3
1
g x f x
x
= , axa Ox , dreptele de ecuații 1x = și 2
x a= are aria egală cu ln 5 .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 2
1 2 1 2 2i i i i i+ − = + + − = 3p
( )1 1 0= + − = 2p
2. 8 12
2 2
V
b
x a m
= − ⇒ − = 3p
1
3
m = − 2p
3. 2 2 2
10 40 4 10 24 0x x x x− + = ⇒ − + = 3p
4x = sau 6x = , care convin 2p
4. Mulțimea M are 100 de elemente, deci sunt 100 de cazuri posibile 2p
În mulțimea M sunt 50 de numere impare, deci sunt 50 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 50 1
nr. cazuri posibile 100 2
p = = = 1p
5. 4BA i j= −



   , 2 3 6 2BC i j BD BA BC i j= + ⇒ = + = +



   


 


 


   2p
2 10BD = 3p
6. 0, 2
x
π 
∈ 
  și 3
sin 2 3
x x
π
= ⇒ = 2p
2 3 3
sin sin sin 0 3
3 3 2 2
π π
π + + = + + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
2 1 2 1
1 det 1 2 4 3 1
3 4 3 4
M M
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
8 3 5= − = 2p
b) ( ) ( ) ( )( )2 2 2M a M b I aA I bA I aA bA abA A= + + = + + + ⋅ 2p
Cum 4 4 4
12 12
A A A
 
⋅ = = 
 
, obținem ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4M a M b I a b ab A M a b ab= + + + = + + ,
pentru orice numere reale a și b
3p
c) ( ) ( )2 2
4 2 4 2 2 0M a a a M a a+ + = ⇔ + − = 3p
1a = − sau 1
2
a = 2p
2.a) 5 5 25 5x y xy x y∗ = − + + − + = 3p
( ) ( ) ( )( )5 5 5 5 5 5 5x y y x y= − − + − + = − − − + , pentru orice numere reale x și y 2p
b) ( ) ( )( )2
5 5 5 4 0x x x x− − + ≥ ⇔ − − ≤ 3p
[ ]4,5x ∈ 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 5x x∗ = și 5 x x∗ = , pentru orice număr real x 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 2018 2019 1 2 3 4 5 6 2018 2019∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ − ∗ = ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ − ∗ =… …
( ) ( )( )5 6 2018 2019 5= ∗ − ∗ ∗ − ∗ =… 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 6 6 9x x
x
x e x x e
f x
e
+ − + +
′ = = 3p
( )( )2 1 34 3
x x
x xx x
e e
− + +− − −
= = , x ∈ ℝ 2p
b)
( ) 2 6 9 2 6 2
lim lim lim lim 0x x xx x x x
x x x
f x e e e→ +∞ → +∞ → +∞ → +∞
+ + +
= = = = 3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( ) 0f x′ ≥ , pentru orice [ ]3, 1x f∈ − − ⇒ este crescătoare pe [ ]3, 1− − și ( )' 0f x ≤ , pentru
orice [ )1,x f∈ − +∞ ⇒ este descrescătoare pe [ )1,− +∞ și, cum ( )1 4f e− = , obținem
( ) 4f x e≤ , pentru orice [ )3,x ∈ − +∞
3p
1
20 3 2
x
x e
+
≤ + ≤ , pentru orice [ )3,x ∈ − +∞ și
1
20 3 2
y
y e
+
≤ + ≤ , pentru orice [ )3,y ∈ − +∞ ,
deci ( )( )
2
20 3 3 4
x y
x y e
+ +
≤ + + ≤ , pentru orice [ ), 3,x y ∈ − +∞
2p
2.a)
( ) ( )
2 2 4
3
0 0
2
1 4 0
x
x f x dx x dx+ = = =∫ ∫ 3p
16 0 4
4
= − = 2p
b)
( ) ( )
3 2 2
3 2 1
ln 1 1
3 2 3 2 1
x x x x
F x x x x
′ 
′ = − + − + = − + − =   + 
3p
( )
3 2 2 3
1 1
1 1
x x x x x x f x
x x
+ − − + + −
= = =
+ + , ( )1,x ∈ − +∞ 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1
1 1 ln 1 ln 1 ln 2
1 1 1
a a a
g x g x dx dx x a
x x
= ⇒ = = = + = + −
+ +∫ ∫
A 3p
( )2 2
ln 1 ln10 9 0a a+ = ⇔ − = și, cum 1a > , obținem 3a = 2p