Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2019 – sesiunea iunie–iulie, 3 iulie 2019, varianta 6, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi termenul 3b al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 1 1b = și rația 5q = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x x= − + și :g →ℝ ℝ , ( ) 4 5g x x= − . Determinați
abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 4x x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, , 49A = … , acesta să fie
număr natural.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3A , ( )3,0B − și ( )3,6C − . Determinați ecuația
medianei din A a triunghiului ABC .
5p 6. Arătați că ( ) ( )sin 3sin cos cos sin 3cos 3x x x x x x− + + = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 4
4 a
A a
a  
 = − 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 171A =− .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2019 2019 2 2019A a A a A− + + = , pentru orice număr real a .
5p c) Determinați perechile de numere reale x și y , pentru care ( ) ( ) ( )2 8x A yA A= − .
2. Pe mulţimea ( )2, 2G = − se defineşte legea de compoziţie 4 4
4
x y
x y xy
+
=∗ + .
5p a) Arătați că 0 este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.
5p b) Determinați x G∈ , pentru care 8
5
x x =∗ .
5p c) Se consideră funcția ( ): 0,f G+∞ → , ( ) ( )2 1
1
x
f x x
−
= + . Demonstrați că ( ) ( ) ( )f xy f x f y= ∗ ,
pentru orice ( ), 0,x y ∈ +∞ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )1 2 2ln 1f x x x= − + + .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
' 1
x
f x x
−
= + , ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstraţi că ( )ln 1 cos cosx x+ ≤ , pentru orice ( )0,x
π∈ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3
x
x
f x e
+
= .
5p a) Arătaţi că ( )
1
1
6x
f x e dx
−
=∫ .
5p b) Demonstraţi că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe intervalul [ )3,− +∞ .
5p c) Determinaţi numărul natural nenul n , știind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f ,
axa Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = și x n= are aria egală cu 4 6 n
e−
− .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
3 1b b q= ⋅ = 3p
2
1 5 25= ⋅ = 2p
2. ( ) ( ) 2 2
1 4 5 5 6 0f x g x x x x x x= ⇔ − + = − ⇔ − + = 2p
2x = , 3x = 3p
3. 2 2
2 4 2 16 8 10 16 0x x x x x x x= − ⇒ = − + ⇒ − + = 3p
2x = , care convine, 8x = , care nu convine 2p
4. Mulțimea A are 49 de elemente, deci sunt 49 de cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 7 numere naturale, deci sunt 7 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 7 1
nr. cazuri posibile 49 7
p = = = 1p
5. Punctul ( )3,3M − este mijlocul laturii BC 2p
Ecuația medianei din A este 3y = 3p
6. ( ) ( ) 2 2
sin 3sin cos cos sin 3cos 3sin sin cos cos sin 3cosx x x x x x x x x x x x− + + = − + + = 2p
( )2 2
3 sin cos 3x x= + = , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 4 1 4
1 1 1det 1 4 4
4 1 4 1
A A
− −
− = − =
  ⇒ 
 =
 = − ⋅ − − − ⋅
− − − − 3p
1 16 17= + = 2p
b) ( ) ( ) 14 4 4032019 20 9
2019 2019 2019 3
8
2
8
4 4 8019 8 40
a a
A a A a a a
− +     
− + + = + = = −− −
    
+     − 3p
( )2
2019 4
4 2
2 2019
019 A
  = 
 −
= , pentru orice număr real a 2p
c) ( ) ( ) 4 4 4 4
4 4 4 4
16
16
xy
A A x
x y x y
x y y x y yx
−    
= =    
−   
+
− − − − , ( ) 8
8
16
2 8 16
A − 
− =  
− − 3p
0xy = și 2x y+ = , deci 0x = , 2y = sau 2x = , 0y = 2p
2.a) 4 4 0 4
0 4 0 4
x x
x x
x
+ ⋅
= = =∗ + ⋅ , pentru orice x G∈ 2p
4 0 4 4
0 4 0 4
x x
x x
x
⋅ + ⋅
= = =∗ + ⋅ , pentru orice x G∈ , deci 0 este elementul neutru al legii de
compoziţie „ ∗ ”
3p
b) 2
2
8 8 5 4 0
54
x x x
x = ⇔ − + =
+ 3p
1x = , care convine, 4x = , care nu convine 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
2 1 2 1
4 4
4 4 2 1 11 1
4 1 14 1 1
4 1 1
x y
f x f y xy x y xy x yx y
f x f y x yf x f y xy x y xy x y
x y
− −
⋅ + ⋅
+ + − − + − + −+ +
∗ = = = =
− −+ + + + + − − +
+ + +
3p
( )
( )
( ) ( )
4 1 2 1
2 1 1
xy xy f xy
xy xy
− −
= = =
+ + , pentru orice ( ), 0,x y ∈ +∞ 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 2 1
f x x
= − + =
+ 3p
2 2 2 2
1 1
x x
x x
− − + −
= =
+ + , ( )1,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )0 1f = , ( )' 0 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )'0 0 0y f f x− = − , adică 1y = 3p
c) ( )' 0f x ≥ , pentru orice ( ]1,0x f∈ − ⇒ este crescătoare pe ( ]1,0− și ( )' 0f x ≤ , pentru orice
[ )0,x f∈ +∞ ⇒ este descrescătoare pe [ )0,+∞ , deci ( ) ( ) ( )0 1 2 2ln 1 1f x f x x≤ ⇒ − + + ≤ ,
deci ( )ln 1x x+ ≤ , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞
3p
cos 1x > − , pentru orice ( )0,x
π∈ , deci ( )ln 1 cos cosx x+ ≤ , pentru orice ( )0,x
π∈ 2p
2.a)
( ) ( )
1 1 2
1 1
1
3 3
2 1
x x
f x e dx x dx x
− −
 
= + = + =   − 
∫ ∫ 3p
1 1
3 3 6
2 2
   
= + − − =   
    2p
b) F este o primitivă a funcției ( ) ( ) 3
x
x
f F x f x e
+
′⇒ = = , x ∈ ℝ 2p
( ) 0F x′ ≥ , pentru orice [ )3,x ∈ − +∞ , deci funcția F este crescătoare pe intervalul [ )3,− +∞ 3p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
3 4 4 4
0
n n x x n
n
f x dx x e dx x e n e− − −
= = + = − + = − + +∫ ∫
A 3p
( )4 4 4 6n n
n e e− −
− + + = − , de unde obținem 2n = 2p