Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2019 – sesiunea august–septembrie, 23 august 2019, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , dacă 1 2a = și rația 2r = .
5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 10 9f x x x= − +
cu axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1
5 3 5 2x x+ − ⋅ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr x din mulțimea { }0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9A = , acesta să
fie soluție a ecuației 2 4 4 0x x− + = .
5p 5. Determinați lungimea vectorului AB AC+
  , știind că triunghiul ABC este echilateral și 2AB = .
5p 6. Arătați că ( )2 2
sin sin 1
2 x x
π
π
 
− + + = 
  , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 4 6
2 1 3
a a
A a a a
+ − 
=  
− 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )A a A b A a b ab= + + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinați perechile de numere naturale m și n pentru care ( ) ( ) ( )2A m A n A= .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 2 2 2 3x y xy x y= − − + .
5p a) Arătați că ( )( )2 1 1 1x y x y= − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care 9x x ≤ .
5p c) Calculați 1 2 3 2019n n n n
  … , pentru orice număr natural nenul n .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ln e
f x x x= − .
5p a) Arătaţi că ( )' x e
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcţiei f
este paralelă cu axa Ox .
5p c) Demonstraţi că ecuația x e
e x= are exact o soluție în ( )0,+∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )( )1 1 x
f x x x e= − + .
5p a) Arătați că ( )3
0
6x
f x dx
e =∫ .
5p b) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii
1x = și 2x = .
5p c) Determinaţi numărul real a , 2a > , știind că ( )2
2 3ln 2
a x
xe dx
f x =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 4a = , 3 6a = 2p
1 2 3 2 4 6 12a a a+ + = + + = 3p
2. ( ) 2
0 10 9 0f x x x= ⇔ − + = 3p
Abscisele sunt 1x = și 9x = 2p
3. ( )5 5 3 2 5 2 2 5 1x x x
− = ⇔ ⋅ = ⇔ = 3p
0x = 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 1p
În mulțimea A este un singur număr care verifică ecuația, deci este un caz favorabil 2p
nr. cazuri favorabile 1
nr. cazuri posibile 10
p = = 2p
5. 2AB AC AM+ =



 


 



 , unde M este mijlocul laturii BC 3p
3AM = , deci lungimea vectorului AB AC+



 


 este egală cu 2 3 2p
6. sin cos
2 x x
π 
− = 
  , ( )sin sinx x
π+ = − 2p
( )2 2 2 2
sin sin cos sin 1
2 x x x x
π
π
 
− + + = + = 
  , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( ) ( )
5 6 5 6
1 1 5 2 2 6
2 2 2
t
2 deA A
  ⇒
− −
= = = ⋅ − − ⋅ − =
− −
 
  3p
10 12 2= − + = 2p
b) ( ) ( ) 1 4 6 1 4 6 1 4 4 4 6 6 6
2 1 3 2 1 3 2 2 2 1 3 3 3
a a b b a b ab b ab a
A a A b a a b b a ab b a b ab
+ − + − + + + − − −    
= = =    
− − + + − − −     3p
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 4 6
2 1 3
a b ab a b ab A a b ab
a b ab a b ab
 + + + − + + 
= = + + 
+ + − + + 
, pentru orice numere reale a și b 2p
c) ( ) ( )2 2A m n mn A m n mn+ + = ⇔ + + = 2p
Cum m și n sunt numere naturale, ( )( )1 1 3 2m n m+ + = ⇒ = , 0n = sau 0m = , 2n = 3p
2.a) 2 2 2 2 1x y xy x y= − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 1 2 1 1 1x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )2
2 1 1x x x= − + , de unde obținem ( )2
1 4x − ≤ 2p
[ ]1,3x ∈ − 3p
c) 1 1x = , pentru orice număr real x 2p
( )1 2 3 2019 1 2 3 2019 1n n n n n n n
= =  …   …  , pentru orice număr natural nenul n 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )'' lnf x x e x′ = − = 2p
1
1 x e
e x x
−
= − ⋅ = , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( ),a f a este paralelă cu axa ( )' 0Ox f a⇔ = 3p
0a e a e− = ⇔ = 2p
c) ( ) 0f x′ < , pentru orice ( )0,x e f∈ ⇒ este strict descrescătoare pe ( )0,e și ( )' 0f x > ,
pentru orice ( ),x e f∈ +∞ ⇒ este strict crescătoare pe ( ),e +∞ 2p
( )ln 0x e e
e x x x f x= ⇔ = ⇔ = și, cum f este continuă și ( ) 0f e = , ecuația x e
e x= are
exact o soluție în ( )0,+∞ 3p
2.a) ( ) ( )( ) ( )
3 3 3 3
2
0 0 0
3
1 1 1 3 0
x
f x x
dx x x dx x dx x
e
 
= − + = − = − =  
 
∫ ∫ ∫ 3p
9 3 6= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2
1 1 2
1
x x x
f x dx x e dx x e xe dx= = − = − − =∫ ∫ ∫
A 2p
( )2 2 2 2
2
3 0 2 1 3 2
1
x
e x e e e e= − − − = − = 3p
c)
( ) ( ) 2
2
2
2 2
2 2 1
ln 1 ln 31 2
a ax axe x a
dx dx x
f x x
−
= = − =
−
∫ ∫ 3p
2 21
ln 3ln 2 25 0
3
a a
− = ⇔ − = și, cum a este număr real, 2a > , obținem 5a = 2p