Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2019 – sesiunea specială, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că suma elementelor mulțimii { }1 4A n n= ∈ − ≤ℕ este egală cu 15 .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x x m= − + , unde m este număr real. Determinați
numărul real m , știind că vârful parabolei asociate funcției f are ordonata egală cu 2 .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 9x x+ = − .
5p 4. Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin 8 elemente ale unei mulțimi cu exact 10 elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5,1A , ( )1,3B − și ( )8,10C . Determinaţi
lungimea segmentului CD , unde punctul D este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Arătați că 1 cos cos 2 cos3 cos 2019 0
π π π
π+ + + + + =… .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( )
1 0 0
1 1
0 0 1
a
A a a
a
+ 
 
=  
 + 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 4A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )3 1 0A a A b ab I a b A= + + + , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinați numărul natural n pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2019 ! 0A A A A n A=… .
2. Se consideră polinomul 3 2 2 3f X mX X m= − + + − , unde m este număr real.
5p a) Determinați numărul real m , știind că ( )1 0f = .
5p b) Pentru 3m = , determinați rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinați numărul real m pentru care ( )33 3 3
1 2 3 1 2 3 12x x x x x x+ + = + + − , unde 1x , 2x și 3x
sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
1 ln
1 1
x
f x x x
= − −
+ + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
1
1
x
f x
x x
−
′ =
+
, ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Se consideră funcțiile ( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) 1
1
x
g x x
−
= + și ( ): 0,h +∞ → ℝ , ( ) ln 1
x
h x x
= + .
Demonstraţi că graficele funcțiilor g și h nu au niciun punct comun.
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= + .
5p a) Arătați că ( )
1 2
0
13
3
f x dx =∫ .
5p b) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției :g →ℝ ℝ , ( ) ( )g x x f x= , axa Ox și
dreptele de ecuații 1x = − și 1x = , are aria egală cu 10 5 16
3
− .
5p c) Calculați ( )3
40 0
1
lim
x
x t f t dt
x→ ∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. { }5 0,1, 2,3, 4,5n A≤ ⇒ = 3p
Suma elementelor mulțimii A este 0 1 2 3 4 5 15+ + + + + = 2p
2. 4 4m∆ = − 2p
4 4 2
4
m − = , de unde obținem 3m = 3p
3. 3 9 2 6x x x+ = − ⇒ = 3p
3x = , care convine 2p
4. O mulțime cu 10 elemente are 8 9 10
10 10 10C C C+ + submulțimi cu cel puțin 8 elemente 3p
8 9 10
10 10 10 45 10 1 56C C C+ + = + + = 2p
5. ( )2, 2D 2p
10CD = 3p
6. cos 2 1k
π = și ( )cos 2 1 1k
π+ = − , unde k ∈ ℤ 2p
( ) ( ) ( ) ( )1 cos cos 2 cos3 cos 2019 1 1 1 1 1 1 1 1 0
π π π
π+ + + + + = + − + + − + + + − + + − =… … 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 0 0 2 0 0
1 1 1 1 det 1 1 1 1
0 0 2 0 0 2
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
4 0 0 0 0 0 4= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )
1 0 0 0 0 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 0 0 0 1
ab a b ab a b
A a A b a b ab a b ab a b a b
ab a b ab a b
+ + + + +     
     
= + + + + = + + + + + =     
     + + + + +     
3p
( ) ( ) ( )3
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1 1 0
0 0 1 0 0 1
ab a b ab I a b A
   
   
= + + + = + + +   
   
   
, pentru orice numere reale
a și b
2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0A A a a A= + , pentru orice număr real a 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2019 2 3 4 2020 0A A A A A= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… … , de unde obținem 2020n = 3p
2.a) ( )1 6 2f m= − 3p
6 2 0 3m m− = ⇒ = 2p
b) ( )3 2 2
3 2 3 2f X X X X X X= − + = − + 2p
Rădăcinile sunt 1 0x = , 2 1x = , 3 2x = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3x x x m+ + = , 1 2 1 3 2 3 2x x x x x x+ + = , deci 3 3 3 3
1 2 3 3 9x x x m m+ + = − − 3p
3 3
3 9 12m m m− − = − , de unde obținem 1m = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )2 2
1 1 1
2
1 1
x x x
f x xx x
  + + −
 ′ = − − − ⋅ =
 + + 
2p
( ) ( )
( )
( ) ( )2 2 2
2 12 1 1
11 1 1
x x x
x xx x x x x
− + −
= − = =
++ + +
, ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) ( ) 2
lim lim 1 ln 1 0 0 1
1 1x x
x
f x x x→ +∞ → +∞
 
= − − = − − = 
+ +  3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,1x ∈ , deci f este descrescătoare pe ( ]0,1 și ( )' 0f x ≥ , pentru
orice [ )1,x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe [ ) ( ) ( )1, 1f x f+∞ ⇒ ≥ , pentru orice
( )0,x ∈ +∞
3p
( )1 ln 2 0f = > , deci ( ) 0f x > , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ și, cum ( ) ( ) ( ) 0g x h x f x= ⇔ = ,
ecuația ( ) ( )g x h x= nu are soluție în ( )0,+∞ , deci graficele funcțiilor g și h nu au niciun
punct comun
2p
2.a)
( ) ( )
1 1 3
2 2
0 0
1
4 4
3 0
x
f x dx x dx x
 
= + = + =  
 
∫ ∫ 3p
1 13
4 0
3 3
= + − = 2p
b)
( ) ( )
1 0 1
2 2 2
1 1 0
4 4 4g x x x g x dx x x dx x x dx
− −
= + ⇒ = = − + + + =∫ ∫ ∫
A 2p
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 22 2
0 11 1 1 1 10 5 16
4 4 8 5 5 5 5 8
3 3 3 3 31 0
x x −
= − + + + = − − + − =
− 3p
c)
Din teorema lui l’Hospital, ( ) ( )3
3
4 30 0
0
1
lim lim 4
x
x x
x f x
t f t dt
x x→ →
= =∫ 3p
2
0
4 1
lim 4 2x
x
→
+
= = 2p