Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2019 – sesiunea specială, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 1 1b = și 2 3b = .
5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 7 0x mx+ + = , unde m este număr real. Determinați
numărul real m pentru care 1 2 1 22 2 3 1x x x x+ + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )2 2log 2 log 2 5x x− + + = .
5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii
{ }1, 2,3, 4,5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,6A și ( )6, 2B . Determinaţi coordonatele
punctului M , știind că AM MB=




 


 .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 3 3AB = , 4AC = și 2
3
A
π
= . Arătaţi că aria triunghiului ABC
este egală cu 9 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1
1 1
1 1
a
A a a
a
 
 
= − − 
 
 
și sistemul de ecuații
1
1
2
ax y z
x ay z
x y az
+ + =
 − − =
 + + =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 0A = .
5p b) Demonstrați că ( )( ) ( )( )det 1 1A a a a a= − + , pentru orice număr real a .
5p c) Pentru 0a = , demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma ( )0 0 0, ,x y z cu
0x , 0y și 0z numere întregi.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )2019 2019 2019x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 2019 2019x ∗ = , pentru orice număr real x .
5p b) Determinați numerele reale x , știind că ( )x x x x∗ ∗ = .
5p c) Determinaţi perechile de numere întregi m și n pentru care 2020m n∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) lnf x x x= − .
5p a) Arătați că ( ) 2
' 2
x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f , în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstraţi că ln 2
4
x
x − ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 9
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 2
0
1
9 3
x f x dx+ =∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f are un singur punct de inflexiune.
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră ( )
1 2
0
n
nI x f x dx= ∫ . Arătați că lim 0n
n I
→+∞ = .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 33 9q b= ⇒ = 3p
1 2 3 1 3 9 13b b b+ + = + + = 2p
2. 1 2x x m+ = − , 1 2 7x x = 2p
2 21 1m− + = , deci 10m = 3p
3. ( )( ) 5 2
2 2 2 36 0x x x− + = ⇒ − = 3p
6x = − , care nu convine, 6x = , care convine 2p
4. Prima cifră se poate alege în 5 moduri 1p
Pentru fiecare alegere a primei cifre, a doua cifră se poate alege în câte 4 moduri 1p
Pentru fiecare alegere a primelor două cifre, a treia cifră se poate alege în câte 3 moduri,
deci se pot forma 5 4 3 60⋅ ⋅ = de numere 3p
5. Punctul M este mijlocul segmentului AB 3p
4Mx = , 4My = 2p
6. 2 3
sin 3 3 4
3 2
2 2
ABC
AB AC
π
∆
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = =
A 3p
12 3 9
4
⋅
= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 det 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0
A A
 
 
= − ⇒ = − = 
 
 
2p
( )0 1 1 0 0 0 0= + + − − − − = 3p
b)
( )( ) 3
1 1
det 1 1
1 1
a
A a a a a
a
= − − = − + = 3p
( ) ( )( )2
1 1 1a a a a a= − = − + , pentru orice număr real a 2p
c) Pentru 0a = , sistemul este compatibil nedeterminat și soluțiile sistemului sunt de forma
( )1 ,1 ,
α α α+ − , unde
α ∈ R 3p
Pentru orice
α număr întreg, numerele 0 1x
α= + , 0 1y
α= − și 0z
α= sunt întregi 2p
2.a) ( )( )2019 2019 2019 2019 2019x x∗ = − − + = 3p
0 2019 2019= + = , pentru orice număr real x 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( )2
2019 2019x x x∗ = − + , ( ) ( )3
2019 2019x x x x∗ ∗ = − + 2p
( ) ( ) ( )( )3 2
2019 2019 2019 2019 1 0x x x x− + = ⇔ − − − = , deci 2018x = sau 2019x = sau
2020x =
3p
c) ( )( ) ( )( )2019 2019 2019 2020 2019 2019 1m n m n− − + = ⇔ − − = 2p
Cum m și n sunt numere întregi, obținem 2018m = , 2018n = sau 2020m = , 2020n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1 1
2
f x xx
′ = − = 3p
1 2
2 2
x x
x x x
−
= − = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 1f = , ( ) 1
' 1 2
f = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 1 3
2 2
y x= − + 3p
c) ( )' 0 4f x x= ⇔ = 1p
( ] ( )0, 4 0x f x′∈ ⇒ ≤ , deci f descrescătoare pe ( ]0, 4 și [ ) ( )4, ' 0x f x∈ +∞ ⇒ ≥ , deci f
este crescătoare pe [ )4, +∞ 2p
Cum ( )4 2 ln 4f = − , obținem ( ) 2 ln 4f x ≥ − , deci ln 2
4
x
x − ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( ) ( )
1 1 3
2 2
0 0
1
9 3 0
x
x f x dx x dx+ = = =∫ ∫ 3p
1 1
0
3 3
= − = 2p
b)
( ) ( ) 2
2
' 9
x
F x f x x
= = + , ( ) ( )
( )22
18
'' '
9
x
F x f x
x
= =
+
, x ∈ ℝ , unde funcția :F →ℝ ℝ este o
primitivă a lui f
2p
( )'' 0 0F x x= ⇔ = 1p
( ) ( ),0 '' 0x F x∈ −∞ ⇒ < și ( ) ( )0, '' 0x F x∈ +∞ ⇒ > , deci F are un singur punct de
inflexiune 2p
c) [ ] 2
0,1 0n
x x∈ ⇒ ≥ și, cum ( )0 1f x≤ ≤ , obținem ( )2 2
0 n n
x f x x≤ ≤ 2p
( )
1 1 2 1
2 2
0 0
1 1
0 2 1 2 10
n
n n
n
x
I x f x dx x dx n n
+
≤ = ≤ = =
+ +∫ ∫ și 1
lim 0
2 1n n→+∞
=
+ , deci lim 0n
n I
→+∞ = 3p