Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2019 – sesiunea specială, 28 mai 2019, varianta 8

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 3z i= − și 2 8 3z i= − . Arătați că 1 23 1z z− = .
5p 2. Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )1 35f a f a+ + = , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 5f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1
2 4 4 32 0x x+
⋅ − + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta
să verifice relația ( )1 42n n + ≥ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )8, 4A , ( )0,6B și ( ),5C m . Determinați numărul
real m , știind că AC CB=
  .
5p 6. Calculați lungimea ipotenuzei BC a triunghiului dreptunghic ABC , ştiind că 6AB = și aria
triunghiului ABC este egală cu 24 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) ( )
1 0 0
0 1 ln 1
0 0 1
a
A a a
+ 
 
= + 
 
 
, unde a este număr real, 0a > .
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )A a A b A ab a b= + + , pentru orice numere reale a și b , 0a > , 0b > .
5p c) Determinați numărul real a , 0a > , știind că ( ) ( ) ( ) ( )7A a A a A a A= .
2. Se consideră 1x , 2x , 3x rădăcinile polinomului 3 2 2f X mX mX= + − + , unde m este număr real.
5p a) Determinați numărul real m , știind că ( )2 0f − = .
5p b) Pentru 1m = , determinați rădăcinile polinomului f .
5p c) Se consideră
22 2 3 31 1 2 2
2 3 1 3 1 2
x mxx mx x mx
a x x x x x x
++ +
= + + . Demonstrați că [ )3,a ∈ +∞ , pentru orice număr
real m .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 4 1x
f x e x x= + + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )5 1x
f x e x x′ = + + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcţiei
f este paralelă cu axa Ox .
5p c) Determinați valorile reale ale lui a pentru care ecuația ( )f x a= are exact trei soluții reale.
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 1
ln
f x x
= .
5p a) Arătați că orice primitivă a funcției f este strict crescătoare pe intervalul ( )1, +∞ .
5p b) Calculați ( )
2
1
e
e
f x dx
x∫ .
5p c) Determinați numărul real a , a e> , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției
( ): 1,g +∞ → ℝ , ( ) ( )
1
g x f x
= , axa Ox și dreptele de ecuații x e= și x a= are aria egală cu 2a .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )1 23 3 3 8 3z z i i− = − − − = 2p
9 3 8 3 1i i= − − + = 3p
2. ( )5 1 5 35a a− + + − = 2p
2 9 35 22a a− = ⇒ = 3p
3. ( )4 2 4 32 0 4 16x x
− + = ⇔ = 3p
2x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de o cifră are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele naturale de o cifră care verifică relația sunt 6 , 7, 8 și 9, deci sunt 4 cazuri
favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4 2
nr. cazuri posibile 10 5
p = = = 1p
5. AC CB=



 


 , deci punctul C este mijlocul segmentului AB 2p
4m = 3p
6. 6
24 8
2 2
ABC
AB AC AC AC∆
⋅ ⋅
= ⇒ = ⇒ =
A 3p
10BC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 0 0 2 0 0
1 0 1 ln 2 det 1 0 1 ln 2
0 0 1 0 0 1
A A
 
 
= ⇒ = = 
 
 
2p
2 0 0 0 0 0 2= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )
( )( )
( )( )( )
1 1 0 0
0 1 ln 1 1
0 0 1
a b
A a A b a b
 + +
 
= + + = 
 
 
3p
( )
( )( ) ( )
1 0 0
0 1 ln 1
0 0 1
ab a b
ab a b A ab a b
 + + +
 
= + + + = + + 
 
 
, pentru orice numere reale a și b ,
0a > , 0b >
2p
c) ( ) ( ) ( )( )2
1 1A a A a A a= + − , ( ) ( ) ( ) ( )( )3
1 1A a A a A a A a= + − , pentru a număr real, 0a > 2p
( ) ( )3 3
1 1 7 1 8a a+ − = ⇔ + = , deci 1a = 3p
2.a) ( )2 6 6f m− = − , pentru m număr real 3p
6 6 0 1m m− = ⇒ = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 8
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( )( )3 2 2
2 2 1f X X X X X X= + − + = + − + 2p
1 2x = − , 2
1 3
2
i
x −
= , 3
1 3
2
i
x +
= 3p
c) 1 2 3x x x m+ + = − , 1 2 3 2x x x = − 2p
( )3 23 2 3 2 1 2 33 3 31 1 2 2 1 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
622 2 m x x xx mx mxx mx x mx mx mx
a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
+ + −+ −+ + − −
= + + = + + = =
2 6 3
2
m +
= ≥ , deci [ )3,a ∈ +∞ , pentru orice număr real m
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2
' 4 1 2 4x x
f x e x x e x= + + + + = 3p
( ) ( )( )2 6 5 5 1x x
e x x e x x= + + = + + , x ∈ ℝ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în ( )( )0 0,x f x este paralelă cu axa ( )0' 0Ox f x⇔ = 2p
( )( )0 0 0 05 1 0 5x
e x x x+ + = ⇔ = − sau 0 1x = − 3p
c) ( )lim 0
x
f x
→−∞
= , ( ) 5
6
5f e
− = , ( ) 2
1f e
− = − și ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ 2p
Cum f este continuă pe ℝ și f este strict monotonă pe ( ), 5−∞ − , pe ( )5, 1− − și pe
( )1,− +∞ , ecuaţia ( )f x a= are exact trei soluţii reale 5
6
0,a e
 
⇔ ∈ 
 
3p
2.a) F este o primitivă a funcției ( ) ( ) 1
ln
f F x f x x
′⇒ = = , ( )1,x ∈ +∞ 2p
( ) 0F x′ > , pentru orice ( )1,x ∈ +∞ , deci F este strict crescătoare pe intervalul ( )1, +∞ 3p
b)
( ) ( )
2 2 2
1 1 1 ln ln
ln
e e
e e
e
f x dx dx x
x x x e
= ⋅ = =∫ ∫ 3p
ln 2 ln1 ln 2= − = 2p
c)
( ) ( ) 1
ln ln ln ln
a a a
e e e
a
g x x g x dx x dx x x x dx a a a
xe
= ⇒ = = = − ⋅ = −∫ ∫ ∫
A 3p
ln 2a a a a− = și, cum a e> , obținem 3
a e= 2p