Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2019 – sesiunea iunie–iulie, 3 iulie 2019, varianta 6, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul ( )( )3 2 3 2n i i= − + este întreg, unde 2 1i = − .
5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( ), 3A a aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2f x x a= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2019 2019 2x x−
+ = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra unităților impară.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3, 3A − și ( )2, 2B − . Determinaţi ecuaţia dreptei
d care trece prin A și este perpendiculară pe AB .
5p 6. Arătați că ( ) ( ) ( )( )sin sin sin sin sin sina b a b a b a b− + = − + , pentru orice numere reale a și b .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
0
0 2 0
0
a a
A a
a a
− 
 
=  
 − 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0A a = , pentru orice număr real a .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2A a A b A ab= , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Demonstrați că matricea ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 15log 3 log 4 log 5 log 16B A A A A= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… are toate elementele
numere întregi.
2. Se consideră polinomul 3 2
f X X mX n= + + + , unde m și n sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )1 2 0 1 2f f f− − + = , pentru orice numere reale m și n .
5p b) Determinaţi numerele reale m și n , știind că polinomul f este divizibil cu polinomul 2 1X − .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )3 3 3
1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 33 1x x x x x x x x x x x x+ + + − + + = , pentru orice numere reale m și n ,
unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 x
f x x e−
= .
5p a) Arătați că ( ) ( )' 2 x
f x x x e−
= − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcţiei f .
5p c) Demonstrați că, pentru orice ( )2
0, 4a e−
∈ , ecuația ( )f x a= are exact trei soluții reale.
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 lnf x x x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
7
ln 3
f x x dx− =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ( )g : 0, +∞ → ℝ ,
( ) ( )2
2g x x x f x= − + , axa Ox și dreptele de ecuații 1x = și x e= are aria egală cu 2
e .
5p c) Demonstrați că ( )( )1
1 2
lim 0n
n e
x f x x dx
−→+∞
− =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )22
3 2n i= − = 2p
2
9 2 11i= − = ∈ ℤ 3p
2. ( ) 3 2 3f a a a= ⇒ + = 3p
1a = 2p
3. ( )2
2019 2019 2 0 2019 1 0x x x−
+ − = ⇔ − = 3p
2019 1x = , deci 0x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Mulțimea numerelor naturale de două cifre care au cifra unităților impară are 45 de
elemente, deci sunt 45 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 45 1
nr. cazuri posibile 90 2
p = = = 1p
5. 1 1AB dm m= − ⇒ = 2p
Ecuația dreptei d este ( )A d Ay y m x x− = − , deci 6y x= − 3p
6. ( ) ( ) 2 2 2 2
sin sin sin cos sin cosa b a b a b b a− + = ⋅ − ⋅ = 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2
sin 1 sin sin 1 sin sin sin sin sin sin sina b b a a b a b a b= − − − = − = − + , pentru
orice numere reale a și b
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( )
0
det 0 2 0
0
a a
A a
a a
−
= =
−
2p
2 2
2 0 0 2 0 0 0a a= + + − − − = , pentru orice număr real a 3p
b)
( ) ( )
2 0 2
0 4 0
2 0 2
ab ab
A a A b
ab ab
− 
 
= = 
 − 
3p
( )
0
2 0 2 0 2
0
ab ab
A ab
ab ab
− 
 
= = 
 − 
, pentru orice numere reale a și b 2p
c) ( ) ( )13 13
2 3 4 15 22 log 3 log 4 log 5 log 16 2 log 16B A A= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =… 3p
( )13
2 4A= , care are toate elementele numere întregi 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( )1f m n− = − + , ( )0f n= 2p
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0 1 2 2 2f m n f f f m n n m n= + + ⇒ − − + = − + − + + + = , pentru orice
numere reale m și n 3p
b) f este divizibil cu ( )2 1 1 0X f− ⇔ − = și ( )1 0f = 3p
1m = − , 1n = − 2p
c) 1 2 3 1x x x+ + = − , 1 2 1 3 2 3x x x x x x m+ + = , 1 2 3x x x n= − , 3 3 3
1 2 3 1 3 3x x x m n+ + = − + − 3p
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3
1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 33 3 1 3 3 1x x x x x x x x x x x x m n m n+ + + − + + = − − − + − = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 2 x x
f x xe x e− −
= − = 3p
( ) ( )2
2 2x x
x x e x x e− −
= − = − , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 0 0f x x′ = ⇔ = sau 2x = 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ , deci f este descrescătoare pe ( ],0−∞ , ( ) 0f x′ ≥
pentru orice [ ]0,2x ∈ , deci f este crescătoare pe [ ]0, 2 și ( )' 0f x ≤ , pentru orice
[ )2,x ∈ +∞ , deci f este descrescătoare pe [ )2, +∞
3p
c) ( )0 0f a= < , ( ) 2
2 4f e a−
= > și ( )lim 0
x
f x a
→+∞
= < , pentru orice ( )2
0, 4a e−
∈ 3p
Cum ( )lim
x
f x
→−∞
= +∞ , f este continuă pe ℝ și f este strict monotonă pe ( ),0−∞ , pe
( )0,2 și pe ( )2, +∞ , ecuaţia ( )f x a= are exact trei soluţii reale 2p
2.a)
( )( )
2 2 3
2
1 1
2
ln 3 1
x
f x x dx x dx− = = =∫ ∫ 3p
8 1 7
3 3 3
= − = 2p
b)
( ) ( ) ( ) 2
1 1 1
1
2 ln 2 ln ln
1 1
e e ee e
g x x x g x dx x x dx x x x x dx
x
= + ⇒ = = + = + − ⋅ =∫ ∫ ∫
A 3p
( )2 2
1 0 1e e e e= − + − − − = 2p
c)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 1 1 1
2
2 1 2 2 11
1 1 1 1
ln ln
1 11 1 1
n n
n n
n n
e e
x x
x f x x dx x x dx x
n n en n n ee− −
+ +
+ +−
 
 − = = − = − +
 + ++ + + 
∫ ∫ 3p
( )( ) ( ) ( ) ( )1
1 2
1 2 2 1
1 1 1
lim lim 0
1 1 1
n
n nn n
e
x f x x dx n e n n e− + +→+∞ →+∞
 
 − = − + =
 + + + 
∫ 2p