Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M4 Pedagogic 2019 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul ( )( ) ( )2
2 1 3 2 1 2 1− + + + este întreg.
5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 1 5f x m x= − − , unde m este număr real. Determinați
numerele reale m , știind că ( )1 4f = .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 3 2x x+ = + .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )2,1B și ( )0,C a , unde a este număr
real. Determinați numărul real a astfel încât AC OB⊥ .
5p 6. Determinați măsura unghiului A al triunghiului ABC , știind că 6 2BC = , 12AC = și
( ) 45m B = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − + .
5p 1. Calculați 2 4∗ .
5p 2. Demonstrați că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă.
5p 3. Verificați dacă 3e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p 4. Determinați numerele reale x pentru care 2 4 2x x
∗ = .
5p 5. Determinați valorile reale x pentru care ( )1 8x x∗ + ≤ .
5p 6. Calculați 1 2 3 10∗ ∗ ∗ ∗… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2 1
1 3
M  
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 22A a M aI= + , unde a este număr real.
5p 1. Calculați det M .
5p 2. Determinați numerele reale a , știind că ( )( )det 7A a = .
5p 3. Arătați că ( ) ( )M A a A a M⋅ = ⋅ , pentru orice număr real a .
5p 4. Determinați inversa matricei ( )1A − .
5p 5. Determinați numărul real a , 0a > , pentru care suma elementelor matricei ( )2logA a este egală cu
37.
5p 6. Demonstrați că, pentru orice număr întreg m , numărul ( )( )det A m este natural impar.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( )2 1 3 2 1 5 2 2− + = − 2p
( )2
2 1 3 2 2+ = + , deci ( )( ) ( )2
2 1 3 2 1 2 1 5 2 2 3 2 2 8− + + + = − + + = ∈ ℤ 3p
2. ( )1 2 6f m= − , deci 2 6 4m − = − sau 2 6 4m − = 3p
1m = sau 5m = 2p
3. ( )2 2
2 3 3 2 9 10 1 0x x x x+ = + ⇒ + + = 3p
1x = − care nu convine, 1
9
x = − care convine 2p
4. Sunt 90 de numere naturale de două cifre, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
Sunt 36 de numere naturale de două cifre care au cifra zecilor strict mai mică decât cifra
unităților, deci sunt 36 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2
nr. cazuri posibile 5
p = = 2p
5. 1ACm a= − + , 1
2
OBm = 2p
( )
1 1 1 3
2 a a− + = − ⇔ = 3p
6. 6 2 12 1
sin
sin sin sin 22
2
BC AC A
A B A
= ⇒ = ⇒ = 3p
( ) 30m A = °∢ , care convine, sau ( ) 150m A = °∢ , care nu convine, deoarece ( ) 45m B = °∢ 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )( )2 4 2 2 4 2 2∗ = − − + = 3p
( )( )2 2 2 2 2 2= − − + = 2p
2. ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y 2p
( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2y x y x x y x y∗ = − − + = − − + = ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci
legea de compoziție „ ”∗ este comutativă 3p
3. ( )( )3 2 3 2 2 2 2x x x x∗ = − − + = − + = , pentru orice număr real x 2p
( )( )3 3 2 2 2 2 2x x x x∗ = − − + = − + = , pentru orice număr real x , deci 3e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ ”∗ 3p
4. ( )( )2 2 4 2 2 2 2 2 0x x x
− − + = ⇔ − = sau 4 2 0x − = 3p
1x = sau 1
2
x = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
5. ( )( ) 2
2 1 2 2 8 3 4 0x x x x− + − + ≤ ⇔ − − ≤ 3p
[ ]1, 4x ∈ − 2p
6. 2 2x ∗ = și 2 2y∗ = , pentru orice numere reale x și y 2p
( )( ) ( ) ( )1 2 3 10 1 2 3 4 5 6 10 2 5 6 10 2∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ =… … … 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( )
2 1
det 2 3 1 1
1 3
M = = ⋅ − ⋅ − =
− 3p
6 1 7= + = 2p
2. ( ) ( )( ) 22 2 1 2 2 1
det 4 10 7
1 3 2 1 3 2
a a
A a A a a a
a a
+ + 
= ⇒ = = + + 
− + − +  3p
2 5
4 10 7 7 2
a a a+ + = ⇔ = − sau 0a = 2p
3. ( ) ( )22 2M A a M M aI M M aM⋅ = ⋅ + = ⋅ + , pentru orice număr real a 2p
( ) ( ) ( )22 2A a M M aI M M M aM M A a⋅ = + ⋅ = ⋅ + = ⋅ , pentru orice număr real a 3p
4. ( ) 0 1
1 1 1
A  
− =  
− 
, ( )( )det 1 1 0A − = ≠ 2p
( )( ) 1 1 1
1 1 0
A − − 
− =  
  3p
5. Suma elementelor matricei ( )2logA a este 25 4log a+ 2p
2 25 4log 37 log 8a a+ = ⇔ = , deci 256a = 3p
6. Pentru orice număr întreg m , numărul ( )( ) 2
det 4 10 7A m m m= + + este întreg și, cum
2
4 10 7 0m m+ + > , obținem că numărul ( )( )det A m este natural 2p
Cum 2
4m și 10m sunt numere pare, obținem că numărul ( )( )det A m este natural impar 3p