Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2019 – clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătaţi că ( )2
1 5 20 6+ − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 3f x x x= + − . Calculaţi distanţa dintre punctele de
intersecţie a graficului funcţiei f cu axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 2
4 8 16x x x+
⋅ = .
5p 4. Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 15 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( ), 1A a a + , unde a este număr real. Determinaţi
numărul real a , ştiind că punctul A se află pe dreapta de ecuaţie 2 1y x= − .
5p 6. Demonstraţi că ( ) ( )2 2
2sin 3cos 3sin 2cos 13x x x x+ + − = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
1
x x
A x x x
− 
=  − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 3A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2 1A x A y A xy x y⋅ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinaţi numărul real a , ştiind că ( ) ( ) ( )
1
2
A a A x A A y
 
= ⋅ ⋅ 
  , pentru orice numere reale x și y .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 4
xy
x y x y∗ = + − .
5p a) Arătaţi că 6 2 5∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )4 6x x∗ = .
5p c) Calculaţi 1 2 3 2019∗ ∗ ∗ ∗… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3
3 x
x
f x e
−
= + .
5p a) Arătați că ( ) 4
' x
x
f x e
−
= , x ∈ ℝ .
5p b) Arătaţi că funcţia f este convexă pe [ )5, +∞ .
5p c) Demonstraţi că 4
3 x
x e −
− ≤ , pentru orice număr real x .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
6 4 1f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )
1
0
5f x dx =∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ .
5p c) Determinați numărul real a , 1a > , pentru care ( )
1
13 ln
a f x dx a
x = +∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
1 5 6 2 5+ = + 3p
20 2 5= , deci ( )2
1 5 20 6 2 5 2 5 6+ − = + − = 2p
2. ( ) 2
0 2 3 0f x x x= ⇔ + − = , deci 3x = − sau 1x = 3p
Distanţa dintre punctele de intersecţie a graficului funcţiei f cu axa Ox este egală cu 4 2p
3. 2 3 3 8 5 3 8
2 2 2 2 2x x x x x+ +
⋅ = ⇔ = 3p
5 3 8x x+ = , deci 1x = 2p
4. Numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 15 sunt formate cu cifrele 1,
3 şi 5 3p
Numerele sunt 135 , 153 , 315 , 351, 513 și 531 2p
5. 1 2 1a a+ = − 3p
2a = 2p
6. 2 2 2 2
4sin 12sin cos 9cos 9sin 12sin cos 4cosx x x x x x x x+ + + − + = 2p
( )2 2 2 2
13sin 13cos 13 sin cos 13x x x x= + = + = , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
2 1 2 1
2 det 2
1 2 1 2
A A
 
= ⇒ = = 
  3p
2 2 1 1 3= ⋅ − ⋅ = 2p
b) ( ) ( ) 1 1 1
1 1 1
x x y y xy xy x y xy x xy y
A x A y x x y y xy y xy x xy x y xy
− − + − − + − + −    
⋅ = = =    − − − + − − − + +     3p
( )
2 1 2 1 1 2 1
2 1 1 2 1
xy x y xy x y A xy x y
xy x y xy x y
− − + − − + − 
= = − − + 
− − + − − − + 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) 1 1 1 1
2 1
2 2 2 2
A x A A x x A
     
⋅ = ⋅ ⋅ − − + =     
      , ( )
1 1 1 1
2 1
2 2 2 2
A A y A y y A
     
⋅ = ⋅ ⋅ − − + =     
      ,
pentru orice numere reale x și y
2p
Pentru orice numere reale x și y , ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
A x A A y A A y A
      
⋅ ⋅ = ⋅ =      
       , deci 1
2
a = 3p
2.a) 6 2
6 2 6 2 4
⋅
∗ = + − = 3p
8 3 5= − = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 24
4 6 5 6 0
4
x x
x x x x
⋅
+ − = ⇔ − + = 3p
2x = sau 3x = 2p
c) 4 4x ∗ = și 4 4y∗ = , pentru orice numere reale x și y 2p
( )( ) ( ) ( )1 2 3 2019 1 2 3 4 5 6 2019 4 5 6 2019 4∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ =… … … 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )2
1 3
'
x x
x
e x e
f x
e
⋅ − − ⋅
= = 3p
( )( )
2
1 3 4
x
x x
e x x
e e
− − −
= = , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 5
'' x
x
f x e
−
= , x ∈ ℝ 3p
( )'' 0f x ≥ , pentru orice [ )5,x ∈ +∞ , deci funcţia f este convexă pe [ )5, +∞ 2p
c) ( ] ( ),4 0x f x′∈ −∞ ⇒ ≥ , deci f este crescătoare pe ( ], 4−∞ și [ ) ( )4, 0x f x′∈ +∞ ⇒ ≤ , deci
f este descrescătoare pe [ )4, +∞ 2p
( ) ( )4f x f≤ , pentru orice număr real 4
3 1
3 3x
x
x e e
−
⇒ + ≤ + , deci 4
3 x
x e −
− ≤ , pentru orice
număr real x
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 2 3 2
0 0
1
6 4 1 2 2
0
f x dx x x dx x x x= + + = + + =∫ ∫ 3p
2 2 1 0 5= + + − = 2p
b) F este o primitivă a funcției ( ) ( ) 2' 6 4 1f F x f x x x⇒ = = + + , x ∈ ℝ 2p
( ) ( )'0 0f x F x> ⇒ > , pentru orice număr real x , deci funcţia F este crescătoare pe ℝ 3p
c) ( ) ( )2 2
1 1
1
6 4 3 4 ln 3 4 ln 7
1
a a a
f x dx x dx x x x a a a
x x
 
= + + = + + = + + − 
 
∫ ∫ 2p
2 2
3 4 ln 7 13 ln 3 4 20 0a a a a a a+ + − = + ⇔ + − = , de unde obținem 10
3
a = − care nu convine,
2a = care convine
3p