Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2019 – clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5p 1. Rezultatul calculului ( )1 1 3 2
2 1 3 2
+ − −
+ + este:
A. 2 1− B. 1 C. 1 3+ D. 3
5p 2. Punctul de intersecţie a graficelor funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − şi :g →ℝ ℝ ,
( ) 3 9g x x= − + este:
A. ( )1,1P B. ( )2,1P C. ( )2,3P D. ( )3, 2P
5p 3. Mulțimea soluțiilor ecuației 3
3 2 2 44x x+
⋅ + = este:
A. { }0 B. { }1 C. { }2 D. { }4
5p 4. Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă
produsul cifrelor egal cu 0 este egală cu:
A. 9
10 B. 8
9 C. 1
9 D. 1
10
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,A a , ( )3,4B și ( )6,0C , unde a este număr
real. Dacă OB AC , atunci numărul real a este egal cu:
A. 8− B. 9
2
− C. 9
2 D. 8
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A cu 5AB = și 13BC = . Tangenta unghiului B este
egală cu:
A. 5
13 B. 5
12 C. 13
12 D. 12
5
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( )
2
1 2 2 1
2 3 5
1 2 4
a a a
D a
+ + −
= , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )0 5D = − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( )( )5 1D a a a= − + , pentru orice număr real a .
5p c) Determinați numerele întregi a pentru care ( ) 3 3D a a< − − .
2. Se consideră matricea ( ) 1
1
x x
M x x x
− 
=  − + 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )1 1 2 0M M M− + = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )M x M y M x y⋅ = + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Demonstraţi că pentru orice număr real a , există un număr real x astfel încât ( ) ( ) ( )M x M x M a⋅ = .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5 4f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( )
1
lim 3
1x
f x
x→
= −
− .
5p b) Calculaţi ( )
( )
lim 1x
f x
f x→ +∞ + .
5p c) Determinaţi ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei ( ): 0,g +∞ → ℝ ,
( ) ( )f x
g x x
= .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )
( )
[ )
2
1 , ,1
2 , 1,
x x
f x x x x
x
 − ∈ −∞

=  − − ∈ +∞

.
5p a) Demonstrați că funcția f este continuă în 1x = .
5p b) Calculați ( )
3
2
lim 3x
f x
x→ −
−
+ .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , ecuația ( )f x a= are cel puțin o soluție.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I
• Pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte.
• Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTUL al II-lea şi SUBIECTUL al III-lea
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. B 5p
2. C 5p
3. C 5p
4. D 5p
5. A 5p
6. D 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1 2 1
0 2 3 5
1 2 4
D
−
= = 2p
( ) ( )12 4 10 3 10 16 5= + − + − − − − = − 3p
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
12 1 4 1 5 2 2 3 1 10 1 8 2 2D a a a a a a a= + + − + + − − − + − + = 3p
( )( )2 4 5 5 1a a a a= − − = − + , pentru orice număr real a 2p
c) ( )( ) ( ) ( )( )5 1 3 1 1 2 0a a a a a− + < − + ⇔ + − < 2p
Cum a este număr întreg, obținem 0a = sau 1a = 3p
2.a) ( ) ( ) 2 1 0 1 2 0
1 1 1 0 1 2 0 2
M M −     
− + = + = =     −      3p
( )
1 0
2 2 0
0 1 M
 
= = 
  2p
b) ( ) ( ) 1 1 1
1 1 1
x x y y x y y x
M x M y x x y y x y x y
− − − − +    
⋅ = = =    − + − + − − + +     3p
( )
( ) ( ) ( )
1
1
x y x y M x y
x y x y
− + + 
= = + 
− + + + 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( )2 2M x M a x a= ⇔ = , unde x şi a sunt numere reale 3p
Pentru orice număr real a , există un număr real 2
a
x = , astfel încât ( ) ( ) ( )M x M x M a⋅ = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )2
1 1 1
4 15 4
lim lim lim
1 1 1x x x
f x x xx x
x x x→ → →
− −− +
= = =
− − − 3p
( )
1
lim 4 3
x
x
→
= − = − 2p
b)
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 2
5 4
1
5 4
lim lim lim 31 1 5 1 4 1
x x x
x
f x x x x x
f x x x x x
→ +∞ → +∞ → +∞
 
− + − +  = = =
+  + − + + − 
 
3p
2
5 4
1
lim 1
3
1x
x x
x
→ +∞
− +
= =
−
2p
c)
( ) ( )2 2
2
5 4 5 4
lim lim 1
x x
g xx x x x
g x x x x→ +∞ → +∞
− + − +
= ⇒ = = 2p
( )( ) 5 4
lim lim 5
x x
x
g x x x→ +∞ → +∞
− +
− = = − , deci dreapta de ecuație 5y x= − este asimptota
oblică spre +∞ la graficul funcției f
3p
2.a)
( )
1 1
1 1
lim lim 1 0
x x
x x
f x x
→ →
< <
= − = , ( ) 2
1 1
1 1
2
lim lim 0
x x
x x
x x
f x x→ →
> >
− −
= = 2p
Cum ( )1 0f = , obținem ( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în 1x = 3p
b) ( )
( )( )3 3 3
2 1 2 3
lim lim lim
3 3 3 1 2x x x
f x x x
x x x x→ − → − → −
− − − − −
= = =
+ + + − + 3p
3
1 1
lim 41 2x x→ −
−
= = −
− + 2p
c) 2
2
lim ( ) lim
x x
x x
f x x→+∞ →+∞
− −
= = −∞ , lim ( ) lim 1
x x
f x x
→−∞ →−∞
= − = +∞ 2p
f continuă pe ( ),1−∞ , f continuă în 1x = și f continuă pe ( )1, +∞ , deci f este continuă
pe ℝ , deci mulțimea valorilor funcției f este ℝ , de unde obținem că, pentru orice număr
real a , ecuația ( )f x a= are cel puțin o soluție
3p