Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2019 – 20 martie 2019, clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul complex z , știind că 3 2 5 2z z i+ = + , unde z este conjugatul lui z .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( )f x x a= + , unde a este număr real. Determinați numărul real
a pentru care ( )( ) 3f f f x x= +  , pentru orice număr real x .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )3 3log 2 3 log 1x x+ − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta
să se dividă cu 10 .
5p 5. Determinați numărul real a pentru care vectorii ( ) ( )1 5 1u a i a j= + + −
   și 3v i j= +
   sunt coliniari.
5p 6. Calculați aria triunghiului ABC , știind că 6AB = , 10AC = și 3
cos 5
A = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 0 2
0 0
3 0 4
x x
M x x
x x
+ + 
 =  
 − − 
, unde x este număr real.
5p a) Calculați ( )( )det 1M − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )0M x M y M M x y+ = + + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați perechile de numere naturale m și n , știind că suma elementelor matricei ( ) ( )1M m M⋅
este egală cu suma elementelor matricei ( ) ( )1M M n⋅ .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 4 4 4 3x y x y xy∗ = + − − .
5p a) Demonstrați că ( )( )1 4 1 1x y x y∗ = − − − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Arătați că 1 1x x
∗ ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care x x x x x∗ ∗ ∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
5ln 3f x x x x= − − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )1 2 5x x
f x x
− +
′ = , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Demonstrați că funcția f este concavă pe ( )0, +∞ .
5p c) Demonstrați că 2
5ln 3 4x x x≤ + − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 4 5 x
f x x x e= + + .
5p a) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ .
5p b) Calculați ( )( )
1 2
0
5x x
f x x e e dx− −∫ .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )212
3 3
3
2 11 ee f x dx
e e
−
−
−− ≤ ≤∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )3 2 5 2 5 5 2a ib a ib i a ib i+ + − = + ⇔ + = + , unde z a ib= + cu a și b numere reale 3p
1a = și 2b = , deci 1 2z i= + 2p
2. ( )( ) ( ) 2f f x f x a x a= + = +
 , ( )( ) 3f f f x x a= +
 
 3p
3 3x a x+ = + , pentru orice număr real x , deci 1a = 2p
3. 3
2 3 2 3
log 1 3
x x
x x
+ +
= ⇒ = 3p
2 3 3 3x x x+ = ⇒ = , care convine 2p
4. Sunt 900 de numere naturale de trei cifre, deci sunt 900 de cazuri posibile 1p
Sunt 90 de numere naturale de trei cifre care se divid cu 10 , deci sunt 90 de cazuri
favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 1
nr. cazuri posibile 10
p = = 2p
5. 1 5 1 3 3 5 1
1 3
a a a a
+ −
= ⇔ + = − 3p
2a = 2p
6. 4
sin 5
A = 2p
4
6 10
sin 5 24
2 2
ABC
AB AC A
∆
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= = =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 det 1 0 1 0
4 0 5 4 0 5
M M
 
 
− = − ⇒ − = − = 
 
 
2p
( )0 0 0 4 0 0 4= + + − − − − = 3p
b)
( ) ( )
1 0 2 1 0 2 2 0 4
0 0 0 0 0 0
3 0 4 3 0 4 6 0 8
x x y y x y x y
M x M y x y x y
x x y y x y x y
+ + + + + + + +     
     
+ = + = + =     
     − − − − − − − −     
3p
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 0 2 1 0 2
0 0 0 0 0 0
3 0 4 3 0 4
x y x y
x y M M x y
x y x y
 + + + +     
= + + = + +  
   − + − +   
, pentru orice numere
reale x și y
2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)
( ) ( )
4 6 0 6 9
1 0 0
14 4 0 21 6
m m
M m M m
m m
+ + 
 
⋅ =  
 − − 
, ( ) ( )
11 0 16
1 0 0
11 0 16
n n
M M n n
n n
− − 
 
⋅ =  
 − − 
, unde m și n
sunt numere naturale
2p
50 54 3 3 4m n m n+ = − ⇔ + = și, cum m și n sunt numere naturale, obținem 1m = , 1n =
sau 4m = , 0n = 3p
2.a) 1 4 4 4 4x y xy x y∗ = − + + − = 3p
( ) ( ) ( )( )1 4 1 4 1 1 4 1 1x y y x y= − − + − = − − − , pentru orice numere reale x și y 2p
b) ( ) ( )
1 1 1
1 4 1 1 1 4 1 x
x x x
x x x
− 
∗ = − − − = − − ⋅ = 
  3p
( )2
4 1
1 1
x
x
−
= + ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
c) ( )2
1 4 1x x x∗ = − − , ( )32
1 4 1x x x x∗ ∗ = + − , ( )43
1 4 1x x x x x∗ ∗ ∗ = − − , unde x este
număr real 3p
( ) ( )( )33
1 1 4 1 0x x− + − = , deci 3
4
x = sau 1x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1
' 5 2 3f x x
x
= ⋅ − − = 3p
( )( )2 1 2 52 3 5 x xx x
x x
− +− − +
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b)
( ) 2
2
2 5'' x
f x x
− −
= , ( )0,x ∈ +∞ 2p
( )'' 0f x < , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci funcția f este concavă pe ( )0, +∞ 3p
c) f este crescătoare pe ( ]0,1 și descrescătoare pe [ )1, +∞ , deci ( ) ( )1f x f≤ , pentru orice
( )0,x ∈ +∞ 3p
( ) 2
1 4 5ln 3 4f x x x= − ⇒ − − ≤ − , deci 2
5ln 3 4x x x≤ + − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a) F este o primitivă a funcției ( ) ( ) ( )2' 4 5 x
f F x f x x x e⇒ = = + + , x ∈ ℝ 2p
( ) ( )'0 0f x F x> ⇒ > , pentru orice număr real x , deci funcţia F este crescătoare pe ℝ 3p
b)
( )( ) ( )
1 1
2 2
0 0
1
4 5 5 4 4 1 0
x x x x x
x x e x e e dx xe dx x e+ + − − = = − =∫ ∫ 3p
( )0 4 1 4= − ⋅ − = 2p
c) Pentru orice [ ]3, 1x ∈ − − , obținem 2
1 4 5 2x x≤ + + ≤ , deci ( ) 2x x
e f x e≤ ≤ 2p
( )
1 1 1
3 3 3
2x x
e dx f x dx e dx
− − −
− − −
≤ ≤∫ ∫ ∫ și, cum ( ) ( )21 12 2
3 3 3
3 3
2 11 1x ee e
e dx f x dx
e e e
− −
− −
−− −
= ⇒ ≤ ≤∫ ∫ 3p