Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2019 – 20 martie 2019, clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5p 1. Se consideră progresia aritmetică ( ) 1n n
a ≥ cu 3 11a = și 4 13a = . Primul termen al acestei progresii
este egal cu:
A. 1− B. 3 C. 7 D. 11
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 8f x x x m= − + , unde m este număr real. Dacă vârful
parabolei asociate funcției f are coordonatele egale, atunci numărul real m este egal cu:
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5p 3. Mulțimea soluțiilor ecuației 12x x+ = este:
A. { }3,4− B. { }4 C. { }3− D. { }4,3−
5p 4. Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }120A n n∗
= ∈ ≤ℕ , acesta să fie multiplu de
25 este egală cu:
A. 1
30 B. 4
121 C. 1
24 D. 29
30
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,5M și ( )4,4N . Punctul P , situat pe axa Ox ,
pentru care punctele M , N și P sunt coliniare este:
A. ( )8,0P − B. ( )0,8P C. ( )0,0P D. ( )8,0P
5p 6. Se consideră expresia ( ) 2 2
sin sin sin
3 3
E x x x x
π
π   
= + + + −   
    , unde x este număr real. Pentru
orice număr real x , expresia ( )E x este egală cu:
A. 0 B. 3 cos x C. sin x D. 1
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x
D x x
x
−
= −
−
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )1 5D = .
5p b) Demonstrați că, pentru orice număr întreg p , 6p ≠ , numărul ( )D p este divizibil cu 6 p− .
5p c) Determinați valoarea maximă pe care o poate lua ( )D n , atunci când n este număr natural.
2. Se consideră matricele 1 1
1 0
A − 
=  − 
și ( ) 0 1
1 1
x
B x x
+ 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )1 3 2 2B B B+ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )A B x B x A⋅ = ⋅ .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( )B x B x B x⋅ = .
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( )2
4x
f x x
−
= .
5p a) Calculaţi ( )lim
x
f x
x→ +∞ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Calculaţi ( )
3 2
4
8 16
lim
x
x x x
f x→
− + .
5p c) Demonstrați că pentru orice număr real a , 0a > , ( ) ( )( )1
lim
x f x a f x
a→ +∞ + − nu depinde de a .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )
[ )
2
, ,1
2
ln , 1,
x x
f x x
x m x
 ∈ −∞
= −
 + ∈ +∞
, unde m este număr real.
5p a) Determinați numărul real m , pentru care funcţia f este continuă pe ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞ la graficul funcției f .
5p c) Pentru 0m ≤ , demonstrați că funcția f este surjectivă.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I
• Pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte.
• Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTUL al II-lea şi SUBIECTUL al III-lea
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. C 5p
2. C 5p
3. B 5p
4. A 5p
5. D 5p
6. A 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
0 2 3
1 1 1 3
1 2 2
D = = 2p
0 6 6 3 0 4 5= + + − − − = 3p
b) ( ) ( )2 6D p p p= − , pentru orice număr întreg p 3p
Numerele p și 6 p− sunt întregi, deci numărul întreg ( )D p este divizibil cu 6 p− 2p
c) ( ) ( )2 6D n n n= − , deci pentru 0n = și pentru orice 6n ≥ , obținem ( ) 0D n ≤ și, cum n
este număr natural, valoarea maximă pe care o poate lua ( )D n se obține pentru una dintre
valorile 1n = , 2n = , 3n = , 4n = sau 5n =
3p
Valoarea maximă este ( )4 32D = 2p
2.a) ( ) ( ) 0 2 0 4 0 6
1 3 0 1 2 1 2 2
B B      
+ = + = =     
      3p
( )
0 3
2 2 2
1 1 B
 
= = 
  2p
b) ( ) 1
0 1
x x
A B x x
− − 
⋅ =  
− − 
, pentru orice număr real x 2p
( ) 1 0
1
x
B x A x x
− − 
⋅ =  
− − 
, pentru orice număr real x 2p
1 1 0
0 1 1
x x x
x x x
− − − −   
=   
− − − −   
, de unde obținem 0x = 1p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)
( ) ( ) 2
2
1 1
1
x x
B x B x
x x
 − +
⋅ =  
 − 
, pentru orice număr real x 2p
2
2
1 1 0 1
1 11
x x x
xx x
 − + + 
  =    − − 
, de unde obținem 1x = − sau 1x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
2
2
2
2 2
4
1
4
lim lim lim
x x x
x
f x x x
x x x→ +∞ → +∞ → +∞
 
− −  = = = 3p
2
4
lim 1 1
x x→ +∞
 
= − = 
  2p
b)
( )
( )
( )
23 2 2
24 4 4
48 16
lim lim lim
4x x x
x x xx x x x
f x x→ → →
− ⋅− + = = =
− 3p
16= 2p
c) c) ( ) ( )( ) ( )
1 1 16 16 16
1f x a f x a
a a x a x x x a
 
+ − = + − = − 
+ +  , ( )0,x ∈ +∞ , unde a este număr
real, 0a >
3p
( ) ( )( ) ( )
1 16
lim lim 1 1
x x
f x a f x
a x x a→ +∞ → +∞
 
+ − = − =  + 
, deci nu depinde de a 2p
2.a) Pentru orice număr real m , funcția f este continuă pe ( ),1−∞ și pe ( )1, +∞ 2p
( ) 2
1 1
1 1
lim lim 1
2x x
x x
x
f x x→ →
< <
= = −
− , ( ) ( )
1 1
1 1
lim lim ln
x x
x x
f x x m m
→ →
> >
= + = și ( )1f m= , deci funcția f este
continuă pe 1m⇔ = −ℝ
3p
b) ( )
( )
2
lim lim 1
2x x
f x x
x x x→ −∞ → −∞
= =
− 2p
( )( ) 2
lim lim 2
2x x
x
f x x x→ −∞ → −∞
− = =
− , deci dreapta de ecuație 2y x= + este asimptotă oblică
spre −∞ la graficul funcției f
3p
c) Cum ( )lim
x
f x
→−∞
= −∞ , ( )0 0f = şi f este continuă pe ( ),1−∞ , mulţimea valorilor funcţiei
f conține intervalul ( ],0−∞ 2p
Cum ( )
1
1
lim
x
x
f x m
→
>
= , ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ și, cum f este continuă pe ( )1, +∞ , mulţimea
valorilor funcţiei conţine intervalul ( ),m +∞ și, cum 0m ≤ , funcția f este surjectivă
3p