Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2019 – 20 martie 2019, clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați modulul numărului complex ( )( ) ( )2 3 2 4 1z i i i= − + − + .
5p 2. Determinați valorile reale ale lui m pentru care ( ) ( )2 2 1 1 0x m x m m− + + − ≥ , pentru orice număr
real x .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22log log 2 1xx − = .
5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi A , știind că mulțimea A are exact 16
submulțimi cu cel mult două elemente.
5p 5. Se consideră triunghiul ABC , punctul M mijlocul laturii BC și punctul N mijlocul segmentului
AM . Demonstrați că 2 0AN BN CN+ + =



 


 


  .
5p 6. Determinaţi ,
2
x
π π
 
∈ 
  , știind că 1 3cos cos 2x x+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1 1
1 2
2 4
A a a
a
 
 
=  
 
 
și sistemul de ecuații
1
2 2
2 4 3
x y z
x y az
x ay z
+ + =
 + + =
 + + =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( ) ( )det 3A a a a= − , pentru orice număr real a .
5p b) Pentru 0a = , demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.
5p c) Determinați numerele întregi a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z și 0x ,
0y și 0z sunt numere întregi.
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 2 2 2 2
x y x y x y= + + .
5p a) Demonstrați că ( )( )2 2
1 1 1x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați perechile de numere naturale a și b , știind că 1a b = .
5p c) Demonstrați că pentru orice număr natural n , 2n ≥ , numărul
1 de ori
1 1 1
n
 …  nu este natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 2 1f x x x x= + + − + .
5p a) Arătați că ( ) 2
2
1 2 2
'
2 2
x x x
f x
x x
+ − + +
=
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre −∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați imaginea funcției f .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )ln 1f x x x= + .
5p a) Calculați ( ) ( )
( )
2
1
3 2
ln 1
x f x dx
x
−
+∫ .
5p b) Arătați că ( )
1
0
1
4
f x dx =∫ .
5p c) Calculați ( )30 0
1
lim
t
t f x dx
t→ ∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
6 3 4 2 4 4 4 3z i i i i i= − + − − − = − 3p
( )22
4 3 5z = + − = 2p
2. ( ) ( )2
2 1 4 1 8 1m m m m∆ = + − − = + 2p
0∆ ≤ , deci 1
, 8
m  
∈ −∞ − 
  3p
3. ( )( )2 2 2
2
1
2log 1 2log 1 log 1 0
log
x x x
x
− = ⇒ + − = 3p
1
2
x = sau 2x = , care convin 2p
4. Numărul de submulțimi cu cel mult două elemente ale mulțimii A este 0 1 2
n n nC C C+ + , unde
n este numărul de elemente ale mulțimii A 3p
( )1
1 16
2
n n
n −
+ + = și, cum n este număr natural, obținem 5n = 2p
5. M mijlocul laturii 2BC BN CN MN⇒ + =



 


 



 2p
N mijlocul segmentului AM , deci MN NA=




 


 , deci 2 2 2 0AN BN CN AN NA+ + = + =



 


 


 


 


  3p
6. ( )( )2 2
1 3cos 2cos 1 2cos 3cos 2 0 cos 2 2cos 1 0x x x x x x+ = − ⇔ − − = ⇔ − + = 3p
1
cos 2
x = − și, cum ,
2
x
π π
 
∈ 
  , obținem 2
3
x
π
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) 2
1 1 1
det 1 2 8 2 4 4
2 4
A a a a a a
a
= = + + − − − = 3p
( )2 3 3a a a a= − + = − , pentru orice număr real a 2p
b) ( )( )det 0 0A = și un minor principal este 1 1 0
1 2 ≠ 2p
Minor caracteristic este
1 1 1
1 2 2 3 0
2 0 3
= ≠ , deci sistemul de ecuații este incompatibil 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
c) Sistemul are soluție unică ( ) { }0 0 0, , \ 0,3x y z a⇒ ∈ℤ și soluția sistemului este 2 1 1
1 , ,
a a a
 
− 
  3p
0x , 0y și 0z sunt numere întregi, deci 1
a este număr întreg și, cum și a este număr întreg,
obținem 1a = − sau 1a = , care convin
2p
2.a) 2 2 2 2 1 1x y x y x y= + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( )( ) ( )( )2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2a b a b+ + − = ⇔ + + = 2p
Cum a și b sunt numere naturale, obținem 1a = , 0b = sau 0a = , 1b = 3p
c)
1 de ori
1 1 1 2 1n
n
= − …  , pentru orice număr natural n , 2n ≥ 2p
Dacă 2 1n − ∈ ℕ , există k ∈ ℕ astfel încât 2
2 1n k k− = ⇒ impar, deci există m ∈ ℕ astfel
încât ( )2
2 1 2 1n m− = + , de unde obținem 1 2
2 2 2 1n m m− = + + , ceea ce este imposibil,
pentru orice număr natural n , 2n ≥
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
2 2
' 1
2 2 2
x
f x
x x
+
= − =
+ + 3p
2
2 2
1 1 2 2
1
2 2 2 2
x x x x
x x x x
+ + − + +
= − =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b)
( ) 2
2 2 1
1 1
lim lim 2
x x
x x xf x x
x x→ −∞ → −∞
 
− + + − + 
 = = − 2p
( )( ) ( )2
2
1
lim 2 lim 2 2 1 lim 0
2 2 1x x x
f x x x x x
x x x→ −∞ → −∞ → −∞
+ = + + + + = =
+ + − −
, deci dreapta
de ecuație 2y x= − este asimptotă oblică spre −∞ la graficul funcției f
3p
c) ( )2 2 2 1 0x x x f x′+ + > + ⇒ < , pentru orice număr real x , deci funcția f este strict
descrescătoare pe ℝ 2p
f continuă pe ℝ , ( )lim
x
f x
→−∞
= +∞ , ( )lim 2
x
f x
→+∞
= , deci ( )Im 2,f = +∞ 3p
2.a) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 3 2
1 1
23 2 3 2
ln 1 1
x f x dx x x dx x x
x
− = − = − =
+∫ ∫ 3p
8 4 1 1 4= − − + = 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 12 2
0 0 0
1'1 1 1
ln 1 ln 1 ln 1 1
2 2 20
x x
x x dx x dx x x dx
 − −
+ = + = + − − =  
 
∫ ∫ ∫ 3p
2 11 1
2 2 40
x x
 
= − − =  
 
2p
c)
( ) ( )
3 20 0
0
1
lim lim 3
t
t t
f t
f x dx
t t→ →
= =∫ 3p
( )
0
ln 1 1
lim 3 3t
t
t→
+
= = 2p