Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2019 – 20 martie 2019, clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)
5p 1. Suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice ( ) 1n n
a ≥ este egală cu 333 . Al doilea termen
al acestei progresii este egal cu:
A. 30 B. 111 C. 222 D. 333
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 5f x x= − . Numărul ( ) 10
9
f f  
 
 
 este egal cu:
A. 10− B. 5
3
− C. 0 D. 10
9
5p 3. Mulțimea soluțiilor ecuației ( ) ( )2 2 1
3
2log 1 log 2 log 3x x+ − + = este:
A. 3 ,0
2
 
− 
  B. 3
2
 
− 
  C. { }0 D. 3
0, 2
 
 
 
5p 4. Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă
cel puțin o cifră pară este egală cu:
A. 5
18 B. 4
9 C. 5
9 D. 13
18
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră triunghiul ale cărui laturi se află pe dreptele de ecuații
1 : 2d y x= − , 2 : 2d y x= și 3 : 2d x = . Perimetrul acestui triunghi este egal cu:
A. ( )4 2 5+ B. 24 C. 6 5 D. ( )4 3 5+
5p 6. Se consideră expresia ( ) 3
sin cos sin cos
2 2
E x x x x x
π
π   
= − + + − +   
    , unde x este număr real.
Pentru orice număr real x , expresia ( )E x este egală cu:
A. 0 B. 2cos x C. 2sin x D. 1
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( )
2 1
,
2 3 1
a b
D a b a a b= , unde a și b sunt numere reale.
5p a) Calculați ( )0,1D .
5p b) Arătați că ( ),1 0D a ≥ , pentru orice număr real a .
5p c) Demonstrați că, dacă numerele m și n sunt întregi impare, atunci ( ), 0D m n ≠ .
2. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( )
1
1 0 1
1
x x
A x
x x
− 
 
=  
 − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )2 0A x A x A− + = , pentru orice număr real x .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )( )det 2 0A x A y A xy− = , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numărul real m , știind că ( ) ( ) ( ) 3
1 1 1
1 2 2019
2 4 4038
A A A A A A mI
     
+ + + =     
     
… .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
2
x
f x x
+
= + .
5p a) Calculați ( )lim
x
f x
→+∞
.
5p b) Se consideră șirul ( ) 1n n
a ≥ cu ( )na f n= . Demonstrați că șirul ( ) 1n n
a ≥ este mărginit.
5p c) Calculați ( )( )lim 1
n
n f n
→+∞
− .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )
[ )2
sin , ,0
2 , 0,
x
a x
xf x
x x x
 + ∈ −∞
= 
 + ∈ +∞
, unde a este număr real.
5p a) Determinați numărul real a pentru care funcţia f este continuă pe ℝ .
5p b) Pentru 1a = , determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , ecuația ( )f x a= are cel puțin o soluție.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I
• Pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte.
• Nu se acordă punctaje intermediare.
SUBIECTUL al II-lea şi SUBIECTUL al III-lea
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. B 5p
2. A 5p
3. C 5p
4. D 5p
5. A 5p
6. A 5p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
0 2 1
0,1 0 0 1
2 3 1
D = = 2p
0 0 4 0 0 0 4= + + − − − = 3p
b)
( ) 2
2 1
,1 1 4 4
2 3 1
a
D a a a a a= = − + = 3p
( )2
2 0a= − ≥ , pentru orice număr real a 2p
c) ( ) 2 2
, 4 5D m n m m n mn= + + − , unde m și n sunt numere întregi impare 2p
Cum m și n sunt numere întregi impare, 2
m este impar, 2
4n este par și 5mn este impar,
deci numărul întreg ( ),D m n este impar, de unde obținem că ( ), 0D m n ≠ 3p
2.a)
( ) ( )
1 1 0 2 0
1 0 1 1 0 1 2 0 2
1 1 0 2 0
x x x x
A x A x
x x x x
− −     
     
− + = + = =     
     − −     
3p
( )
0 1 0
2 1 0 1 2 0
0 1 0
A
 
 
= = 
 
 
, pentru orice număr real x 2p
b)
( ) ( )
2 1 0 2 1
0 2 0
2 1 0 2 1
xy xy
A x A y
xy xy
+ − + 
 
=  
 − + + 
, ( )
2 1 2
2 1 0 1
2 1 2
xy xy
A xy
xy xy
− 
 
=  
 − 
, pentru orice numere
reale x și y
2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1 1 1 1
2 1 2 1 det 2 1 2 1 0
1 1 1 1 1 1
A x A y A xy A x A y A xy
− − 
 
− = − − ⇒ − = − − = 
 − − 
, pentru
orice numere reale x și y
3p
c)
( ) 3
2 0 0
1 0 2 0 2
2 0 0 2
A x A I
x
 
   
= =      
 
, pentru orice număr real nenul x 3p
3
3 3 3 3
de 2019 ori 2
2 2 2 4038
I
I I I I+ + + =…
 , deci 4038m = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
1
1
1
lim lim lim 22 1
x x x
x
x x
f x x x x
→ +∞ → +∞ → +∞
 
+ +  = = =
+  
+ 
 
3p
1
1
lim 1
2
1
x
x
x
→ +∞
+
= =
+
2p
b) 1
2
n
n
a n
+
= + , deci 0na > , pentru orice număr natural n , 1n ≥ 2p
Cum 1
1 1
2
na n
= − <
+ , pentru orice număr natural n , 1n ≥ , șirul ( ) 1n n
a ≥ este mărginit 3p
c)
c) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
1 1
1 2
lim 1 lim lim
1 1n n n
n
n
n f n n
n f n f n f n→+∞ →+∞ →+∞
+ 
− − + − = = =
+ +
2p
( ) ( )( ) 1
lim 22 1n
n
n f n→+∞
−
= = −
+ + 3p
2.a) Pentru orice număr real a , funcția f este continuă pe ( ),0−∞ și pe ( )0,+∞ 2p
( )
0 0
0 0
sin
lim lim 1
x x
x x
x
f x a a
x→ →
< <
 
= + = + 
  , ( ) 2
0 0
0 0
lim lim 2 0
x x
x x
f x x x
→ →
> >
= + = și ( )0 0f = , deci funcția
f este continuă pe 1a⇔ = −ℝ
3p
b) ( ) sin
1 1 x
a f x x
= ⇒ = + , ( ),0x ∈ −∞ 1p
sin 1
| |
x
x x
≤ şi 1
lim 0
| |x x→−∞ = 2p
Obținem ( )lim 1
x
f x
→−∞
= , deci dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre −∞ la
graficul funcției f 2p
c) ( )0 0f = , ( )lim
x
f x
→ +∞
= +∞ și f este continuă pe [ )0,+∞ , deci mulțimea valorilor funcției
f conține intervalul [ )0,+∞
3p
Cum pentru orice număr real a , [ )0,a ∈ +∞ , ecuația ( )f x a= are cel puțin o soluție 2p