Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M4 Pedagogic 2019

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2 3 20 45 5 4 12 2− + − + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 7f x x= + . Calculați ( )f a , unde ( ) ( )3 1a f f= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
2 4 1 1x x x+ + = + .
5p 4. După două ieftiniri succesive cu câte 50% , un obiect costă 100 de lei. Calculați prețul inițial al
obiectului.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 2M − − , ( )2,0N − şi ( )0, 4P − . Determinați
lungimea medianei din vârful M al triunghiului MNP .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 10BC = și ( ) 30m B = °∢ . Calculaţi lungimea
laturii AB .
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 2 2 2 3x y xy x y∗ = − − + .
5p 1. Arătați că 2 2 3∗ = .
5p 2. Demonstrați că ( )( )2 1 1 1x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că 3
2
e = este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.
5p 4. Verificați dacă 5
4 este simetricul lui 2 în raport cu legea de compoziţie „ ∗ ”.
5p 5. Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )1 1 1x x+ ∗ − = .
5p 6. Determinați numerele naturale nenule n pentru care ( )1 5n n∗ + ≤ .
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 4
3 2
A  
=  
− − 
, 5 1
2 1
B − 
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p 1. Arătați că det 10A = .
5p 2. Arătaţi că 26 3B B B I⋅ = − .
5p 3. Determinați numerele reale x și y pentru care 7 7
8 3
xA yB  
+ =  
− − 
.
5p 4. Determinaţi inversa matricei B .
5p 5. Arătați că matricea ( )2X ∈ ℝ
M , care verifică egalitatea A X B+ = , este inversabilă.
5p 6. Demonstrați că ( )2det 0A aI+ > , pentru orice număr real a .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 3 20 45 5 4 12 2 3 2 5 3 5 5 2 2 3− + − + − = − + − + − = 3p
( ) ( )2 3 2 3 2 5 3 5 5 2 2= − + − + − + = 2p
2. ( )3 10f = , ( ) ( ) ( )1 8 3 1 2f a f f= ⇒ = − = 3p
( ) ( )2 9f a f= = 2p
3. 2 2 2
2 4 1 2 1 2 0x x x x x x+ + = + + ⇒ + = 2p
2x = − , care nu convine sau 0x = , care convine 3p
4. Prețul după prima ieftinire este 50
100 2
x
x x− ⋅ = , unde x este prețul inițial al obiectului 2p
Prețul după a doua ieftinire este 50
2 100 2 4
x x x
− ⋅ = , deci 100 400
4
x x= ⇒ = de lei 3p
5. Mijlocul segmentului NP este punctul ( )1, 2Q − − 3p
1MQ = 2p
6. 3
cos 2 10
AB AB
B BC
= ⇒ = 3p
5 3AB = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3∗ = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 3p
8 4 4 3 3= − − + = 2p
2. 2 2 2 2 1x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 1 2 1 1 1x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )
3 3
2 1 1 1 1 1
2 2
x x x x
 
∗ = − − + = − + = 
  , pentru orice număr real x 2p
( )
3 3 3
2 1 1 1 1 1
2 2 2
x x x x x
 
∗ = − − + = − + = = ∗ 
  , pentru orice număr real x , deci 3
2
e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”
3p
4. ( )
5 5 1 3
2 2 2 1 1 1 2 1
4 4 4 2
 
∗ = − − + = ⋅ + = 
  2p
( )
5 5 1 3
2 2 1 2 1 1 2 1
4 4 4 2
 
∗ = − − + = ⋅ + = 
  , deci 5
4 este simetricul lui 2 în raport cu legea de
compoziţie „ ∗ ”
3p
5. ( )( ) ( )2 1 1 1 1 1 1 2 0x x x x+ − − − + = ⇔ − = 3p
0x = sau 2x = 2p
6. ( )( ) ( )2 1 1 1 1 5 1 2n n n n− + − + ≤ ⇔ − ≤ 2p
Cum n este număr natural nenul, obținem 1n = sau 2n = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )
1 4
det 1 2 3 4
3 2
A = = ⋅ − − − ⋅ =
− − 3p
2 12 10= − + = 2p
2. 27 6
12 3
B B − 
⋅ =  −  2p
2
30 6 3 0 27 6
6 3 12 6 0 3 12 3
B I B B
− −     
− = − = = ⋅     − −      3p
3. 4 5 5 4
3 2 2 3 2 2
x x y y x y x y
xA yB x x y y x y x y
− + −     
+ = + =     − − − − − − +      2p
5 4 7 7
3 2 2 8 3
x y x y
x y x y
+ −   
=   
− − − + − −   
, de unde obținem 2x = și 1y = 3p
4. det 3B = 2p
1
1 1
3 3
2 5
3 3
B−
 
 
=  
 
 
 
3p
5. 4 5
1 3
X B A X − 
= − ⇒ =  
  2p
4 5
det 17 0
1 3
X −
= = ≠ , deci matricea X este inversabilă 3p
6. ( ) 2
2 2
1 4 det 10
3 2
a
A aI A aI a a
a
+ 
+ = ⇒ + = − + = 
− −  2p
2
1 39 0
2 4
a
 
= − + > 
  , pentru orice număr real a 3p