Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2019

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul ( ) ( )2 2
4 3 3 4N i i= + + − este natural, unde 2 1i = − .
5p 2. Determinaţi numerele reale a , știind că punctul ( ),A a a aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2
2f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1
5 5 30x x+
+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, , 49M = … , acesta să
fie număr natural.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,5A , ( )3,5B și ( )2,1C . Determinați lungimea
medianei din B a triunghiului ABC .
5p 6. Demonstrați că ( ) ( )2 2
sin cos sin cos 2x x x x+ + − = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ), x y
A x y y x
− 
=  
  , unde x și y sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )( )det 1,1 2A = .
5p b) Determinați numărul natural n pentru care ( ) ( ) ( )1,0 1,0 2018,0A n A n A− + + = .
5p c) Determinați numărul real a , știind că există un număr real x pentru care ( ) ( ) ( ),1 ,1 , 2A x A x A a⋅ = − .
2. Se consideră polinomul 3 2
7 8f X X mX= − + − , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( )1 1 30f f− + = − , pentru orice număr real m .
5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la 2 3 1X X− + , știind că f se divide cu
2X − .
5p c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f are trei rădăcini reale pozitive, în progresie
geometrică.
SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 2 2 1
2
x x
f x x
+ +
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )2
1 3
'
2
x x
f x
x
+ +
=
+
, ( )2,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este convexă pe ( )2,− +∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 1
f x x x
= + .
5p a) Determinați primitiva F a funcției f pentru care ( )1 0F = .
5p b) Arătați că volumul corpului obţinut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei
[ ]: 1, 2g → ℝ , ( ) ( )g x f x= este egal cu 97
10
π .
5p c) Determinaţi numărul ( )1,m ∈ +∞ , știind că ( )( )2
1
1
ln 2
m
f x x x dx− =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2
16 24 9 9 24 16N i i i i= + + + − + = 2p
16 9 9 16 0= − + − = , care este număr natural 3p
2. ( ) 2 2
2 2 0f a a a a a a= ⇔ − = ⇔ + − = 3p
2a = − sau 1a = 2p
3. ( )5 1 5 30 5 5x x
+ = ⇔ = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea M are 49 de elemente, deci sunt 49 de cazuri posibile 1p
În mulțimea M sunt 7 numere naturale, deci sunt 7 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 7 1
nr. cazuri posibile 49 7
p = = = 2p
5. Mijlocul segmentului AC este punctul ( )2,3M 2p
( ) ( )2 2
3 2 5 3 5BM = − + − = 3p
6. ( ) ( )2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cosx x x x x x x x x x x x+ + − = + + + − + = 2p
( )2 2
2 sin cos 2 1 2x x= + = ⋅ = , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
1,1 det 1,1 1 1 1 1
1 1 1 1
A A
− − 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ − = 
  3p
1 1 2= + = 2p
b) 1 0 1 0 2018 0 2 0 2018 0
0 1 0 1 0 2018 0 2 0 2018
n n n
n n n
− +         
+ = ⇔ =         − +          3p
1009n = 2p
c) 2
2
1 1 2 1 2 2
1 1 2 22 1
x x a x x a
x x a ax x
 − − − −      
= ⇔ =        − −      − 
3p
1x = − , de unde obținem 0a = 2p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 7 1 1 8 16f m m− = − − ⋅ − + ⋅ − − = − − 2p
( ) ( ) ( )3 2
1 1 7 1 1 8 14 1 1 16 14 30f m m f f m m= − ⋅ + ⋅ − = − ⇒ − + = − − + − = − , pentru orice
număr real m 3p
b) ( )2 0 14f m= ⇒ = , deci 3 2
7 14 8f X X X= − + − 2p
Câtul este 4X − și restul este 4X − 3p
c) 2 3
1 3 2 1 2 3 2x x x x x x x= ⇒ = și, cum 1 2 3 8x x x = , obținem 2 2x = 2p
Polinomul f are rădăcinile 1, 2 și 4 , deci 14m = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2 2 2 2 1 1
'
2
x x x x
f x
x
+ + − + + ⋅
= =
+
3p
( )
( )( )
( )
2
2 2
1 34 3
2 2
x xx x
x x
+ ++ +
= =
+ +
, ( )2,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )
( )
2 2 1
lim lim 1
2x x
f x x x
x x x→ +∞ → +∞
+ +
= =
+ 2p
( )( ) 1
lim lim 0
2x x
f x x x→ +∞ → +∞
− = =
+ , deci dreapta de ecuație y x= este asimptotă oblică spre
+∞ la graficul funcției f
3p
c) ( ) ( )3
2''
2
f x
x
=
+
, ( )2,x ∈ − +∞ 2p
( )'' 0f x > , pentru orice ( )2,x ∈ − +∞ , deci funcția f este convexă pe ( )2,− +∞ 3p
2.a)
( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) 3
ln
3
x
F x x c= + + , unde c ∈ ℝ 3p
Cum ( ) 1
1 3
F c= + , obținem ( ) 1
1 0 3
F c= ⇔ = − , deci ( ) 3 1
ln
3 3
x
F x x= + − 2p
b)
( ) ( )
2 2 5
2 2 4 2
2
1 1
21 1 1
2 5 1
x
g x x V g x dx x x dx x
x xx
π
π
π   
= + ⇒ = = + + = ⋅ + − =       
∫ ∫ 3p
32 1 1 97
4 1 1
5 2 5 10
π
π  
= + − − − + = 
  2p
c)
( )( )2 2 2
1 1
1 1 1
ln ln ln ln
2 21
m m m
f x x x dx x dx x m
x
− = = =∫ ∫ 3p
21 1
ln ln 1
2 2
m m= ⇔ = − sau ln 1m = , deci 1
m e
= , care nu convine sau m e= , care convine 2p