Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2019

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul
2
1 1
1 1
a i i
 
= − 
− +  este întreg, unde 2 1i = − .
5p 2. Determinați cel mai mare număr natural m pentru care soluțiile ecuației 2 7 0x x m− + = sunt
numere reale.
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 2
3 3 3 117x x x+ +
+ + = .
5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 36 de submulțimi cu
două elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A − , ( )3, 3B − și ( )3,0C . Determinaţi ecuaţia
medianei din C a triunghiului ABC .
5p 6. Determinați 0, 2
x
π 
∈ 
  pentru care ( ) ( )cos sin sin cos 1x x x x
π
π− − + = .
SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2 1
3 2 1 1
3 1
a
A a a
a a
 
 = − 
 − 
și sistemul de ecuații ( )
( )
2 1
3 2 1 1
3 2 1
x ay z
x a y z
a x ay z a
+ + =
 + − + =
 − + + = −
,
unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 5A = − .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care ( )( )det 0A a = .
5p c) Pentru 1a = , determinați soluțiile ( )0 0 0, ,x y z ale sistemului pentru care 2
0 0 0x y z= .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )5 5 6x y xy x y∗ = − + + .
5p a) Demonstrați că ( )( )5 1 1 1x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care 26x x x∗ ∗ < .
5p c) Determinați numărul natural nenul n pentru care
( ) ( )2 2 2
1 1 1 19
1 2n n n
∗ ∗ = −
+ + .
SUBIECTUL al III-lea –- Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( )2 1
ln x
f x x x
−
= − .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
2
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcţiei f
este perpendiculară pe dreapta de ecuație y x= .
5p c) Demonstrați că 0
2
f
π  < 
  .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + .
5p a) Arătați că ( )
3
0
12f x dx =∫ .
5p b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției :g →ℝ ℝ , ( ) ( )
x
g x f x
= , axa
Ox și dreptele de ecuații 0x = și 1x = .
5p c) Demonstrați că există un unic număr real x pentru care ( )
0
x f t
e dt x=∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2019
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )
2 2
1 11 1 2
1 1 21
i i i i
i i i
+ − −
− = = =
− + − 3p
2 1a i= = − , care este număr întreg 2p
2. 49 4m∆ = − 2p
49
0 , 4
m  
∆ ≥ ⇔ ∈ −∞ 
  , deci cel mai mare număr natural m pentru care soluțiile ecuației
sunt numere reale este 12
3p
3. ( )2
3 1 3 3 117 3 9x x
+ + = ⇔ = 3p
2x = 2p
4. 2 36nC = , unde n este numărul de elemente ale mulțimii 3p
( )1 36
2
n n − = , deci 9n = 2p
5. Mijlocul segmentului AB este punctul ( )1, 1M − 2p
Ecuația medianei din C este ( )
1
1 1
2
y x+ = − , deci 1 3
2 2
y x= − 3p
6. cos sin sin cos 1 sin 2 1x x x x x+ = ⇔ = 3p
Cum 0, 2
x
π 
∈ 
  , obținem 4
x
π
= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 0 1 2 0 1
0 3 1 1 det 0 3 1 1
3 0 1 3 0 1
A A
 
 = − ⇒ = − = 
 − − 
2p
2 0 0 3 0 0 5= − + + − − − = − 3p
b)
( )( ) 2
2 1
det 3 2 1 1 6 5
3 1
a
A a a a a
a a
= − = − + −
−
, pentru orice număr real a 3p
1a = sau 5a = 2p
c)
Pentru 1a = , sistemul este
2 1
3 1
2 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
 + + =
− + + =
și, scăzând primele două ecuații, obținem
0 0x = , deci 0 0 1y z+ =
3p
2
0 0 0 0 0 0x y z y z= ⇒ = , deci soluțiile sunt ( )0,1,0 sau ( )0,0,1 , care convin 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) 5 5 5 5 1x y xy x y∗ = − − + + = 3p
( ) ( ) ( )( )5 1 5 1 1 5 1 1 1x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 2p
b) ( )2
5 1 1x x x∗ = − + , ( )3
25 1 1x x x x∗ ∗ = − + 2p
( ) ( )3
1 1 ,2x x− < ⇔ ∈ −∞ 3p
c) ( )( )
( )
1 31 1 1 1 1 1 4
25 1 1 1 1 1 1 1 19
1 1 2 2 2 5
n n
n n n n n n n n
− +      
− + − + − + + = − ⇔ = −      
+ + + + +       3p
Cum n este număr natural nenul, obținem 3n = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
2
2 2 11 x x
f x x x
− −
′ = − = 3p
2 2
2 2 2 2x x x x
x x
− + − −
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( ),a f a este perpendiculară pe dreapta de
ecuație ( )' 1y x f a= ⇔ = − 3p
2
2
2 1 2 0 2
a a a a
a
− = − ⇔ + − = ⇔ = − , care nu convine sau 1a = , care convine 2p
c) ( )' 0f x < , pentru orice ( )0, 2x f∈ ⇒ este strict descrescătoare pe ( )0,2 2p
( )0 1 2 1
2 2
f f
π
π 
< < < ⇒ < 
  și, cum ( )1 0f = , obținem 0
2
f
π  < 
  3p
2.a)
( ) ( )
3 3 3
2
0 0
3
1 3 0
x
f x dx x dx x
 
= + = + =  
 
∫ ∫ 3p
27 3 0 12
3
= + − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
1 1 2
2 2
0 0
11 ln 1
21 1 0
x x
g x g x dx dx x
x x
= ⇒ = = = + =
+ +
∫ ∫
A 3p
1 ln 2
2
= 2p
c)
Funcția :h →ℝ ℝ , ( ) ( )
0
x f t
h x e dt x= −∫ este derivabilă și ( ) 2 1
' 1x
h x e +
= − 2p
( )' 0h x > pentru orice număr real x , deci h este strict crescătoare pe h⇒ℝ este injectivă
și, cum ( )0 0h = , există un unic număr real x pentru care ( )
0
x f t
e dt x=∫ 3p