Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2018 – 27 iunie 2018, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) 1
2 0,1 6 1
3
 
⋅ + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția ( ): , 2 2f f x x→ = −ℝ ℝ . Determinaţi numărul real a pentru care ( )f a a= .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 6 5
5 5x x+ = .
5p 4. Prețul unui obiect este 900 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se ieftinește de
două ori, succesiv, cu câte 10% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 1A − , ( )1, 2B și ( )1, 2C − − . Demonstrați că
triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.
5p 6. Arătați că 2 2 2 3
sin 30 sin 45 sin 60 2
° + ° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )2 2x y x y xy∗ = + + + .
5p 1. Arătaţi că ( )0 2 2∗ − = − .
5p 2. Demonstrați că ( )( )2 2 2x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Verificaţi dacă 1e = − este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.
5p 4. Determinaţi numerele reale x , știind că ( ) ( )1 1 2x x+ ∗ + = .
5p 5. Determinați numerele ( )0,x ∈ +∞ pentru care ( )lg lg 2 2x x∗ = − .
5p 6. Dați exemplu de numere raționale a și b , care nu sunt întregi, pentru care numărul a b∗ este
întreg.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 1
0 2
A  
=  
 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2M a aA I= + , unde a este număr real.
5p 1. Arătaţi că det 2A = .
5p 2. Demonstrați că ( )( ) ( )( )det 1 2 1M a a a= + + , pentru orice număr real a .
5p 3. Determinați inversa matricei ( )2M − .
5p 4. Arătați că ( ) ( ) ( )21 2 3M M A A I⋅ = ⋅ + .
5p 5. Demonstrați că ( )( )det 2 1M a aA− ≠ , pentru orice număr întreg nenul a .
5p 6. Determinaţi matricea ( )2,1X ∈ ℝ
M pentru care 0
4
A X  
⋅ =  − 
.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 15 1
0,1 6 90 6
= = 3p
1 1 1
2 2 1
6 3 2
 
⋅ + = ⋅ = 
  2p
2. ( ) 2 2f a a= − 2p
2 2 2a a a− = ⇔ = 3p
3. 2 2
6 5 5 6 0x x x x+ = ⇔ − + = 3p
2x = sau 3x = 2p
4. După prima ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 900 10% 900 810− ⋅ = lei 3p
După a doua ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 810 10% 810 729− ⋅ = de lei 2p
5. 10AB = , 10AC = , deci triunghiul ABC este isoscel 3p
20BC = , și cum ( ) ( ) ( )
2 2 2
20 10 10= + , obținem că triunghiul ABC este dreptunghic 2p
6. 1
sin 30 2
° = , 2
sin 45 2
° = , 3
sin 60 2
° = 3p
2 2 2 1 2 3 6 3
sin 30 sin 45 sin 60 4 4 4 4 2
° + ° + ° = + + = = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( ) ( )0 2 2 0 2 0 2 2∗ − = + − + ⋅ − + = 3p
4 2 2= − + = − 2p
2. 2 2 4 2x y xy x y∗ = + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( ) ( )( )1 2 1 2 2 2 2x x x x∗ − = + − + − = + − = 2p
( ) ( )( ) ( )1 1 2 2 2 2 2 1x x x x x− ∗ = − + + − = + − = = ∗ − , pentru orice număr real x , deci 1e = −
este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 3p
4. ( )( ) 2
3 3 2 2 6 5 0x x x x+ + − = ⇔ + + = 3p
5x = − sau 1x = − 2p
5. ( ) ( )( )lg 2 lg 2 2 2 2 lg 2 0x x x+ + − = − ⇒ + = sau ( )lg 2 2 0x + = 3p
1
100
x = sau 1
200
x = , care convin 2p
6. ( )( )2 2a b a b∗ ∈ ⇔ + + ∈ℤ ℤ 2p
De exemplu, pentru 2 4
2 \
3 3
a a+ = ⇔ = − ∈ ℚ ℤ și 3 1
2 \
2 2
b b+ = ⇔ = − ∈ ℚ ℤ , obținem
1a b∗ = − , care este număr întreg
3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. 1 1 1 1
det 1 2 0 1
0 2 0 2
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
2 0 2= − = 2p
2. ( ) 1 1 1 0 1
0 2 0 1 0 2 1
a a
M a a a
+     
= + =     
+      3p
( )( ) ( )( )
1
det 1 2 1
0 2 1
a a
M a a a
a
+
= = + +
+ , pentru orice număr real a 2p
3. ( ) ( )( )
1 2
2 det 2 3
0 3
M M
− − 
− = ⇒ − = 
−  2p
( )1
2
1 3
2 1
0 3
M −
 
− 
− =  
 − 
 
3p
4. ( ) ( ) 2 1 3 2 6 9 2 3
1 2 3
0 3 0 5 0 15 0 5
M M       
⋅ = = =      
       3p
2
1 3 1 0 2 3
0 4 0 1 0 5
A A I      
⋅ + = + =     
     
, deci ( ) ( ) ( )21 2 3M M A A I⋅ = ⋅ + 2p
5. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )22 det 2 1 1 2M a aA I aA M a M a aA a a− = − = − ⇒ − = − − 2p
( )( ) ( )2
1 1 2 1 2 3 1 1 2 3 0a a a a a a− − = ⇔ − + = ⇔ − = , ceea ce este imposibil dacă a este
număr întreg nenul, deci ( )( )det 2 1M a aA− ≠ , pentru orice număr întreg nenul a 3p
6. 1 1 0 0
0 2 4 2 4
x x y
y y
+ =      
⋅ = ⇔      
− = −       2p
2x = și 2y = − , deci 2
2
X  
=  
−  3p