Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2018 – sesiunea august–septembrie, 22 august 2018, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 9
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătaţi că ( ) ( ) ( )( )3 1 3 1 2 1 2 1 1+ − − + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2f x x= − . Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia
( ) 4f x < .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )3
2 2log 3 log 30x + = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1 , 2 , 3 , 4 și 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3M şi ( )1,4N − . Determinaţi coordonatele
punctului P , simetricul punctului N față de punctul M .
5p 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A , ştiind că 8AB = și
( ) 30m C = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )2 6x y xy x y∗ = − + + .
5p 1. Arătați că 1 2 2∗ = .
5p 2. Demonstrați că ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că 3e = este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.
5p 4. Determinați numerele naturale n pentru care n n n∗ ≤ .
5p 5. Determinați numărul real x pentru care ( )2 2 2 10x x x
∗ ∗ = .
5p 6. Determinați numerele raționale p și q , știind că 2 2 3
3 1 3 1 p q∗ = +
− − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 2 4
1 2
A − 
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2M a I aA= + , unde a este număr real.
5p 1. Arătați că det 0A = .
5p 2. Arătați că 2A A O⋅ = , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p 3. Demonstrați că ( ) ( ) ( )M a M b M a b⋅ = + , pentru orice numere reale a și b .
5p 4. Determinați numerele reale t , știind că ( ) ( ) ( )2 90M t M t M⋅ = .
5p 5. Arătați că inversa matricei 2I A+ este matricea 2I A− .
5p 6. Rezolvaţi în ( )2 ℝ
M ecuaţia ( )2 2I A X A I+ ⋅ = − .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1+ − − + − = − − − = 3p
2 1 1= − = 2p
2. 3 2 4 3 6x x− < ⇔ < 3p
( ), 2x ∈ −∞ 2p
3. 3 3
3 30 27 0x x+ = ⇒ − = 3p
3x = , care convine 2p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 5 moduri 2p
Cum cifrele sunt distincte, pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi
aleasă în 4 moduri, iar apoi cifra sutelor poate fi aleasă în 3 moduri, deci se pot forma
5 4 3 60⋅ ⋅ = de numere
3p
5. Punctul M este mijlocul segmentului 1
2 2
Px
NP − +
⇒ = , de unde obținem 5Px = 3p
4
3 2
Py+
= , de unde obținem 2Py = 2p
6. 1 8
sin 2
AB
C BC BC
= ⇔ = 3p
16BC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )1 2 1 2 2 1 2 6∗ = ⋅ − + + = 3p
2 6 6 2= − + = 2p
2. 2 2 4 2x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )( )3 2 3 2 2 2 2x x x x∗ = − − + = − + = , pentru orice număr real x 2p
( )( )3 3 2 2 2 2 2 3x x x x x∗ = − − + = − + = = ∗ , pentru orice număr real x , deci 3e = este
elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 3p
4. ( )( ) ( )( )2 2 2 2 3 0n n n n n− − + ≤ ⇔ − − ≤ 3p
Cum n este număr natural, obținem 2n = sau 3n = 2p
5. ( )2
2 2 2 2 2x x x
∗ = − + , ( ) ( )3
2 2 2 2 2 2x x x x
∗ ∗ = − + 3p
( )3
2 2 2 10 2 2 2 2x x x− + = ⇔ − = ⇔ = 2p
6.
( )
2 22 2 2 2 2 3 1 2 6 2 3
3 1 3 1 3 1
 
∗ = − + = − + = − 
− − − 
3p
6 2 3 3p q− = + , de unde obținem 6p = și 2q = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )
2 4
det 2 2 1 4
1 2
A −
= = − ⋅ − − ⋅ =
− 3p
4 4 0= − + = 2p
2. ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2 2 4 1 2 4 4 2
1 2 2 1 1 4 2 2
A A  − − + ⋅ − − ⋅ + ⋅ 
⋅ = = 
− − + ⋅ − − ⋅ + ⋅ 
3p
2
4 4 8 8 0 0
2 2 4 4 0 0 O
− − +   
= = =   
− − +    2p
3. ( ) ( ) ( )( )2 2 2M a M b I aA I bA I aA bA abA A⋅ = + + = + + + ⋅ = 3p
( ) ( ) ( )2 2 2I a b A abO I a b A M a b= + + + = + + = + , pentru orice numere reale a și b 2p
4. ( ) ( ) ( )2 2
M t M t M t t⋅ = + 2p
( ) ( )2 2
90 90 0M t t M t t+ = ⇒ + − = , de unde obținem 10t = − sau 9t = 3p
5. ( )( )2 2 2 2I A I A I A A A A I+ − = − + − ⋅ = 2p
( )( )2 2 2 2I A I A I A A A A I− + = + − − ⋅ = , deci matricea 2I A− este inversa matricei 2I A+ 3p
6. ( ) ( )1
2 2X I A A I
−
= + ⋅ − 2p
2
5 8
2 2 3
X A I X − 
= − ⇒ =  
−  3p