Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2018 – 27 iunie 2018, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1
30 0,3 1
3
 
⋅ − = 
  .
5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 0x x a− + = , unde a este număr real. Determinați
valorile reale ale lui a pentru care 1 2 1 0x x − < .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1
3 9x x+ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra unităților egală cu 3 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 1A − − şi ( )4,4B . Demonstraţi că punctele A,
O şi B sunt coliniare.
5p 6. Demonstraţi că ( )2
sin cos sin 2 1x x x+ − = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 5
2 6
A − 
=  
 
, 6 5
2 1
B  
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 16A = .
5p b) Determinaţi numărul real a pentru care 2A B aI⋅ = .
5p c) Demonstrați că 1
det 49xA B
x
 
+ ≥ 
  , pentru orice număr real nenul x .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )5 15 42x y xy x y= + + +
 .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )2 2 2− − =
 .
5p b) Demonstrați că ( )( )5 3 3 3x y x y= + + −
 , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) ( ) ( )3 3 3 197x x x− − − =
 
 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 x
f x x e= − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 1 x
f x x e= − , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( )lim 0
x
f x
→−∞
= .
5p c) Demonstrați că ( ) 0e f x− ≤ ≤ , pentru orice ( ],2x ∈ −∞ .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 2
3 1f x x= + .
5p a) Arătaţi că ( )( )
1
1
1 2f x dx
−
− =∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ .
5p c) Calculați ( )
1
ln
e
f x x dx∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 3 10 9
30 0,3 30 30
3 3 10 30
−   
⋅ − = ⋅ − = ⋅ =   
    3p
1
30 1
30
= ⋅ = 2p
2. 1 2x x a= 3p
( )1 0 ,1a a− < ⇔ ∈ −∞ 2p
3. 1 2
3 3 1 2x x x x+ = ⇔ + = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 1p
Sunt 9 numere naturale de două cifre care au cifra unităților egală cu 3 , deci sunt 9 cazuri
favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 90 10
p = = = 2p
5. 2AO = , 4 2OB = 2p
5 2AB AB AO OB= ⇒ = + , deci punctele A, O şi B sunt coliniare 3p
6. 2 2
sin 2sin cos cos 2sin cosx x x x x x+ + − = 3p
2 2
sin cos 1x x= + = , pentru orice număr real x 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
1 5
det 1 6 2 5
2 6
A −
= = ⋅ − ⋅ − = 3p
6 10 16= + = 2p
b) 1 5 6 5 1 0 16 0 0
2 6 2 1 0 1 0 16 0
a
a a
−        
= ⇔ =        
−         3p
16a = 2p
c)
2
2
6 5
5
1 16
det 16 17
2 1
2 6
x x
x x
xA B x
x xx x
x x
+ − +
 
+ = = + + 
  − +
3p
2
2 2
2 2
16 16 1
16 17 49 16 32 0 16 0x x x xx x
 
+ + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ 
  , relație adevărată pentru orice
număr real nenul x
2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 5 2 2 15 2 2 42− − = ⋅ − ⋅ − + − + − + =
 3p
20 60 42 2= − + = 2p
b) 5 15 15 45 3x y xy x y= + + + − =
 2p
( ) ( ) ( )( )5 3 15 3 3 5 3 3 3x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
c) ( ) ( ) 2
3 3 5 3x x x− − = −
 , ( ) ( ) ( ) 3
3 3 3 25 3x x x x− − − = −
 
 2p
3
25 3 197 2x x− = ⇔ = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )1 2x x
f x e x e′ = ⋅ + − = 3p
( ) ( )1 2 1x x
e x x e= + − = − , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 2
lim lim xx x
x
f x e−→ −∞ → −∞
−
= = 3p
1
lim 0xx e−→ −∞
= =
− 2p
c) ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice ( ],1x f∈ −∞ ⇒ este descrescătoare pe ( ],1−∞ , ( ) 0f x′ ≥ , pentru
orice [ ]1, 2x f∈ ⇒ este crescătoare pe [ ]1, 2 2p
( )lim 0
x
f x
→−∞
= , ( )1f e= − și ( )2 0f = , deci ( ) 0e f x− ≤ ≤ , pentru orice ( ],2x ∈ −∞ 3p
2.a)
( )( )
1 1 2 3
1 1
1
1 3 1
f x dx x dx x
− −
− = = =
−
∫ ∫ 3p
( )1 1 2= − − = 2p
b) :F →ℝ ℝ este o primitivă a lui ( ) ( ) 2' 3 1f F x f x x⇒ = = + , x ∈ ℝ 2p
( )' 0F x > , pentru orice număr real x , deci F este crescătoare pe ℝ 3p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 3 2
1 1 1 1
1
ln 3 1 ln ln 1
1
e e e ee
f x x dx x xdx x x x x x dx e e x dx
x
= + = + − + ⋅ = + − + =∫ ∫ ∫ ∫ 3p
3 3 3 3
3 3 1 2 4
1
3 3 3 31
ex e e
e e x e e e
      +
= + − + = + − + + + =          
     
2p