Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2018 – sesiunea specială, 28 mai 2019, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )3 2 2 2 3 6 0− + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x= − . Determinaţi numerele reale a , știind că ( )f a a= .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 7 5
2 4x x− = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5A = , acesta să verifice
relaţia 2 16n ≤ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,2M , ( )4,3N şi ( )6,1P . Determinaţi
lungimea segmentului MQ , unde Q este mijlocul segmentului NP .
5p 6. Arătați că sin 30 sin 45 cos 60 cos 45 0° + ° − ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
şi ( ) 1
1 2
x
A x  
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 5A = .
5p b) Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( ) 23A x A y I⋅ = .
5p c) Determinați numărul întreg p pentru care ( ) ( )( )2det 5A p A p I⋅ + = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( ) 2x y xy x y∗ = − + + .
5p a) Arătaţi că 2 2 2∗ = .
5p b) Demonstrați că ( )( )1 1 1x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Calculați 1 2 3 2018∗ ∗ ∗ ∗… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
1
2 2
x x
f x x x
+ +
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )22
2
'
2 2
x x
f x
x x
+
=
+ +
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = − , situat pe
graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )1 3f x f y≤ + ≤ , pentru orice numere reale x și y .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 3 2
6 12 5f x x x x= − + + .
5p a) Arătați că ( )( )
1 3
0
9f x x dx− =∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este o funcție convexă pe ℝ .
5p c) Arătați că ( )
4
2
3
' 12 8
dx
f x
π
=
+∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )3 2 2 2 3 6 2 3 6 6 12− + − = − + − = 3p
2 3 2 3 0= − = 2p
2. ( ) 2 2f a a= − 2p
2 2a a− = , deci 1a = − sau 2a = 3p
3. 7 5 2
2 2 7 5 2x x x x− = ⇔ − = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea A are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile 1p
În mulţimea A sunt 4 numere care verifică relaţia dată, deci sunt 4 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 4
nr. cazuri posibile 5
p = = 2p
5. ( )5,2Q 2p
( ) ( )2 2
5 1 2 2 4MQ = − + − = 3p
6. sin 30 cos60° = ° , sin 45 cos 45° = ° 2p
sin 30 sin 45 cos 60 cos 45 sin 30 sin 45 sin 30 sin 45 0° + ° − ° − ° = ° + ° − ° − ° = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
2 1 2 1
2 det 2 2 2 1 1
1 2 1 2
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − − ⋅ = 
− −  3p
4 1 5= + = 2p
b) 1 1 1 0 1 2 3 0
3
1 2 1 2 0 1 2 3 0 3
x y xy x
y
− +        
= ⇔ =        
− − − −         3p
2x = − , 2y = − 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2
2 det 5 4 4
2 4
p p
A p A p I A p A p I p p
p
 +
⋅ + = ⇒ ⋅ + = + +  − −  2p
2 2
5 4 4 5 5 4 1 0p p p p+ + = ⇔ + − = și, cum p este număr întreg, obținem 1p = − 3p
2.a) ( )2 2 2 2 2 2 2∗ = ⋅ − + + = 3p
4 4 2 2= − + = 2p
b) 1 1x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
c) 1 x x∗ = , pentru orice număr real x 3p
( )1 2 3 2018 1 2 3 2018 1∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ =… … 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )( )
( )
2 2
22
2 1 2 2 1 2 2
'
2 2
x x x x x x
f x
x x
+ + + − + + +
= =
+ +
3p
( )
( )
( )
2
2 22 2
22
2 2 2 2
x xx x
x x x x
++
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )1 1f − = , ( )' 1 1f − = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )'1 1 1y f f x− − = − + , adică y x= − 3p
c) ( ) 0f x′ ≥ , pentru orice ( ], 2x f∈ −∞ − ⇒ este crescătoare pe ( ], 2−∞ − , ( ) 0f x′ ≤ , pentru
orice [ ]2,0x f∈ − ⇒ este descrescătoare pe [ ]2,0− și ( ) 0f x′ ≥ , pentru orice [ )0,x f∈ +∞ ⇒
este crescătoare pe [ )0,+∞
2p
( ) ( ) ( )
3 1
lim 1, 2 , 0
2 2x
f x f f
→−∞
= − = = și ( )lim 1
x
f x
→+∞
= , deci ( )
1 3
2 2
f x≤ ≤ și ( )
1 3
2 2
f y≤ ≤ ,
de unde obținem ( ) ( )1 3f x f y≤ + ≤ , pentru orice numere reale x și y
3p
2.a)
( )( ) ( ) ( )
1 1
3 2 3 2
0 0
1
6 12 5 2 6 5
0
f x x dx x x dx x x x− = − + + = − + + =∫ ∫ 3p
2 6 5 0 9= − + + − = 2p
b) :F →ℝ ℝ este o primitivă a lui ( ) ( )'f F x f x⇒ = , ( ) 2'' 3 12 12F x x x= − + , x ∈ ℝ 3p
( ) ( )2
'' 3 2 0F x x= − ≥ , pentru orice număr real x , deci funcția F este convexă pe ℝ 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
2
2
2 2
43 1 1 2
' 3 2 arctg
' 12 2 2 22 4
x
f x x dx dx
f x x
−
= − ⇒ = = =
+ − +
∫ ∫ 3p
( )
1 arctg1 arctg 0
2 8
π
= − = 2p