Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2018 – sesiunea iunie–iulie, 27 iunie 2018, varianta 5, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )
1 3
1 1 0,5
2 4
 
− + = 
  .
5p 2. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 3 5f x x= − și
:g →ℝ ℝ , ( ) 1 3g x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )3 3log 5 log 9x + = .
5p 4. După o ieftinire cu 30% , preţul unui obiect este 700 de lei. Determinați prețul obiectului înainte
de ieftinire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,6A şi ( )8,0B . Determinați lungimea
medianei din vârful O în triunghiul AOB .
5p 6. Arătați că ( )2 sin 45 sin 30 cos 60 0⋅ ° − ° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 3
1 2
A  
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2
1 1
x
B x  
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 5A = .
5p b) Arătați că, dacă ( ) 23A B x I+ = , atunci ( ) 25A B x I⋅ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )( )2det 0B x B x I⋅ − = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )9 90x y xy x y= − + + .
5p a) Arătaţi că 10 8 8= .
5p b) Demonstrați că ( )( )9 9 9x y x y= − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care 10n n ≤ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
1
3
x
f x x
−
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )22
3 1
'
3
x x
f x
x
− +
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) ( ) 1
1 3
f x f y− ≤ + ≤ , pentru orice numere reale x și y .
2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 1
x
f x x
e
= + .
5p a) Arătaţi că ( )
1
1
1 0x
f x dx
e−
 
− = 
 
∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este concavă pe intervalul ( ],0−∞ .
5p c) Calculați ( )
1
0
x
e f x dx∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )
1 1 5
1 1 0,5 1
2 2 10
   
− + = ⋅ + =   
    3p
1 3 3
2 2 4
= ⋅ = 2p
2. 3 5 1 3x x− = − 3p
1x = 2p
3. 5 9x + = 3p
4x = , care convine 2p
4. 30 700
100
x x− ⋅ = , unde x este prețul obiectului înainte de ieftinire 3p
1000x = de lei 2p
5. Triunghiul AOB este dreptunghic în O , 10AB = 2p
Lungimea medianei din O este egală cu 10 5
2 2
AB = = 3p
6. 2
sin 45 2
° = , 1
sin 30 2
° = , 1
cos 60 2
° = 3p
( ) 2 1 1 2
2 sin 45 sin 30 cos 60 2 1 0
2 2 2 2
 
⋅ ° − ° + ° = ⋅ − + = − = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
1 3
det 1 2 1 3
1 2
A = = ⋅ − − ⋅ =
− 3p
2 3 5= + = 2p
b) 1 3 2 1 0 3 3 3 0
3 3
1 2 1 1 0 1 0 3 0 3
x x x
+         
+ = ⇔ = ⇔ = −         
−          3p
( ) 2
1 3 2 3 5 0
3 5
1 2 1 1 0 5
A B I
−    
⋅ − = = =    
−     2p
c) ( ) ( ) 2
4 3 1 0 3 3
3 1 0 1 3
x x x x
B x B x I x x
+ +     
⋅ − = − =     
+      2p
23 3 0 6 0 0
3
x x x x x
x
+ = ⇔ − = ⇔ = sau 6x = 3p
2.a) ( )10 8 10 8 9 10 8 90= ⋅ − + + =
 3p
80 162 90 8= − + = 2p
b) 9 9 81 9x y xy x y= − − + + =
 2p
( ) ( ) ( )( )9 9 9 9 9 9 9x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( )( )2
9 9 10 10 8 0n n n− + ≤ ⇔ − − ≤ 2p
Cum n este număr natural, obținem 8n = , 9n = sau 10n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
22
1 3 1 2
'
3
x x x
f x
x
⋅ + − − ⋅
= =
+
3p
( )
( )( )
( )
2
2 22 2
3 12 3
3 3
x xx x
x x
− +− + +
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b)
( ) 2
2
1
1
1
lim lim lim 0
33 1
x x x
x xf x x x x
→ +∞ → +∞ → +∞
−
−
= = =
 + + 
 
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice ( ], 1x f∈ −∞ − ⇒ este descrescătoare pe ( ], 1−∞ − , ( ) 0f x′ ≥ , pentru
orice [ ]1,3x f∈ − ⇒ este crescătoare pe [ ]1,3− și ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice [ )3,x f∈ +∞ ⇒
este descrescătoare pe [ )3, +∞
2p
( ) ( ) ( )
1 1
lim 0, 1 , 3
2 6x
f x f f
→−∞
= − = − = și ( )lim 0
x
f x
→+∞
= , deci ( )
1 1
2 6
f x− ≤ ≤ și ( )
1 1
2 6
f y− ≤ ≤ ,
de unde obținem ( ) ( ) 1
1 3
f x f y− ≤ + ≤ , pentru orice numere reale x și y
3p
2.a)
( )
1 1 2
1 1
11
2 1
x
x
f x dx x dx
e− −
 
− = = = 
  −
∫ ∫ 3p
1 1 0
2 2
= − = 2p
b) :F →ℝ ℝ este o primitivă a lui ( ) ( )'f F x f x⇒ = , ( ) 1'' 1x
F x e
= − + , x ∈ ℝ 2p
( )'' 0F x ≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ , deci funcția F este concavă pe intervalul ( ],0−∞ 3p
c)
( ) ( ) ( )( )
1 1
0 0
1
1 1 0
x x x
e f x dx xe dx x x e= + = + − =∫ ∫ 3p
( ) 0
1 0 0 1 2e= + − − − ⋅ = 2p