Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2018 – sesiunea august–septembrie, 22 august 2018, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 1 1
2 3 4 3
2 3 4 5
   
− − − ⋅ =   
    .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x= + . Determinaţi numerele reale a pentru care
( ) ( )1 5f a f a+ + = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 4
5 25x− = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10,15,20,25,30,35,40,45,50M = ,
acesta să fie un număr divizibil cu 10 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,1A şi ( )2,5B . Calculaţi lungimea segmentului
OM , unde M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Arătați că 2 2 1
2sin 45 cos 45 sin 45 cos 60 4
° ⋅ ° − ° − ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 5 1
4 8
A  
=  
 
și ( ) 2 1
4 1
a
M a a
− 
=  
+ 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că det 36A = .
5p b) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea ( )M a este inversabilă.
5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( )M x M y A⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 6f X mX= + − , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )1 5f m= − , pentru orice număr real m .
5p b) Determinaţi numărul real m pentru care 2 2 2
1 2 3 4x x x+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
5p c) Pentru 7m = − , determinați numerele reale p și q , pentru care ( )( )2
1f X X pX q= + + + .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
3 3f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )' 3 2f x x x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) 1f x ≥ − , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( ]
( )
2
3 , ,1
1
2 ln , 1,
x x x
f x x x
x
 − ∈ −∞

=  + ⋅ ∈ +∞

.
5p a) Arătaţi că ( )
1
1
2f x dx
−
=∫ .
5p b) Arătați că funcția f admite primitive pe ℝ .
5p c) Determinaţi numărul natural n pentru care ( )
2 2 2
0
4 ln 2
2
n
f x dx − +
=∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 1 1 4 1 9 1 16 1 1
2 3 4
2 3 4 5 2 3 4 5
− − −   
− − − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =   
    3p
3 8 15 1 3
2 3 4 5
= ⋅ ⋅ ⋅ = 2p
2. ( )22 2
2 1 2 5 2 2 0a a a a+ + + + = ⇔ + = 3p
1a = − sau 0a = 2p
3. 2 4 2
5 5 2 4 2x x− = ⇔ − = 3p
3x = 2p
4. Mulțimea M are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 1p
În mulțimea M sunt 5 numere divizibile cu 10 , deci sunt 5 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 5
nr. cazuri posibile 9
p = = 2p
5. ( )4,3M 2p
5OM = 3p
6. 2
sin 45 2
° = , 2
cos 45 2
° = , 1
cos 60 2
° = 3p
2 2
2 2 2 2 2 1 1
2sin 45 cos 45 sin 45 cos 60 2 2 2 2 2 4
   
° ⋅ ° − ° − ° = ⋅ ⋅ − − =       
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 5 1
det 5 8 4 1
4 8
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
40 4 36= − = 2p
b) ( )( ) 22 1
det 6
4 1
a
M a a a
a
−
= = − −
+ 2p
( )M a este inversabilă ( )( )det 0M a⇔ ≠ ⇔ { }\ 2,3a ∈ −ℝ 3p
c) 2 2 8 1 5 1 1
4 4 4 5 4 8
xy x y x y xy
x y xy x y
− − + + −   
= ⇔ =   
+ − + + +   
și 2x y+ = 3p
1x = , 1y = 2p
2.a) ( ) 3
1 1 1 6f m= + ⋅ − = 3p
1 6 5m m= + − = − , pentru orice număr real m 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 1 2 3 0x x x+ + = , 2 2 2
1 2 1 3 2 3 1 2 3 2x x x x x x m x x x m+ + = ⇒ + + = − 3p
2 4 2m m− = ⇔ = − 2p
c) ( ) ( )3 3 2
7 6 1X X X p X p q X q− − = + + + + + 3p
1p = − , 6q = − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2' 3 3 2f x x x= − ⋅ = 3p
( )2
3 6 3 2x x x x= − = − , x ∈ ℝ 2p
b) ( )1 1f = , ( )' 1 3f = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )'1 1 1y f f x− = − , adică 3 4y x= − + 3p
c) ( ) 0f x′ ≤ , pentru orice [ ]0, 2x f∈ ⇒ este descrescătoare pe [ ]0, 2 și ( ) 0f x′ ≥ , pentru orice
[ )2,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )2, +∞ 2p
( ) ( )2f x f≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ și ( )2 1f = − , deci ( ) 1f x ≥ − , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ 3p
2.a)
( ) ( )
1 1 2
2 3
1 1
1
3 2 1
x
f x dx x x dx x
− −
 
= − = − =   − 
∫ ∫ 3p
1 1
1 1 2
2 2
   
= − − − − =   
    2p
b) Cum ( ) ( )2
1 1
1 1
lim lim 3 2
x x
x x
f x x x
→ →
< <
= − = , ( )
1 1
1 1
1
lim lim 2 ln 2
x x
x x
f x x
x→ →
> >
 
= + ⋅ = 
  și ( )1 2f = , obținem
( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în 1x =
3p
Cum funcția f este continuă pe ( ),1−∞ și pe ( )1, +∞ , obținem că f este continuă pe ℝ ,
deci funcția f admite primitive pe ℝ 2p
c)
( ) ( )
2 1 2 2 2 2
2 3
0 0 1
1 2 21 ln 5 ln 2
3 2 ln 2
2 2 20 1 1
x x
f x dx x x dx x dx x x
x
  + 
= − + + ⋅ = − + + =       
∫ ∫ ∫ 3p
2 2 2 25 ln 2 4 ln 2 9 0
2 2
n n
+ − +
= ⇔ − = și, cum n este număr natural, obținem 3n = 2p