Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2018 – 27 iunie 2018, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați produsul primilor trei termeni ai progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , ştiind că 2 4b = .
5p 2. Se consideră funcțiile , :f g →ℝ ℝ , ( ) ( )2
1f x x= − și ( ) 2018g x x= − . Calculați ( )( )1g f .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2
25 5x x
= .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra zecilor egală cu 9 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație ( ) 2 2
1 0a x a y a− − − = , unde a este
număr real nenul. Determinați numărul real nenul a , știind că dreapta d este paralelă cu axa Ox .
5p 6. Arătaţi că 5
tg ctg 2
x x+ = , știind că 1
sin 5
x = și 0, 2
x
π 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2
1 2
x x
A x + 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 7A = − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )0xA y yA x x y A− = − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale a , știind că ( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 0 7aA A a A a I− + = + .
2. Se consideră polinomul 3
4 6f X X m= − + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 2m = , arătați că ( )1 0f = .
5p b) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real m , polinomul f nu se divide cu polinomul 2 1X X+ + .
5p c) Determinați numărul real nenul m , știind că
2
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 1
x x x x x x
 
+ + = ⋅ ⋅ 
  , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ln 11 xf x x x
= − − .
5p a) Arătaţi că ( ) 2
ln
' x
f x x
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ln 1
1
2
x
x x
≤ − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 2 1
3 1
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
0
1 22x f x dx+ =∫ .
5p b) Calculați ( ) 3
1
0
1
1
x
f x e dx
x
 − 
+ ∫ .
5p c) Determinați numărul natural nenul n , știind că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei
Ox a graficului funcției [ ]: 0,1g → ℝ , ( ) ( ) 2
3g x f x x= − este egal cu n
π .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
1 3 2b b b= 2p
3 3
1 2 3 2 4 64b b b b= = = 3p
2. ( )1 0f = 2p
( )( ) ( )1 0 2018g f g= = 3p
3. 2
2 2
5 5 2 0x x x x= ⇔ − = 3p
0x = sau 2x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 1p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 10 numere care au cifra zecilor egală cu
9 , deci sunt 10 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 10 1
nr. cazuri posibile 90 9
p = = = 2p
5.
2
1
d
a
m a
−
= 2p
Dreapta d este paralelă cu axa 2
1 0
a
Ox a
−
⇔ = , deci 1a = 3p
6. Cum 1
sin 5
x = și 0, 2
x
π 
∈ 
  , obținem 2
cos 5
x = 2p
2 2
sin cos 5
tg ctg sin cos 2
x x
x x x x
+
+ = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
3 1 3 1
1 det 1 3 2 1 1
1 2 1 2
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − − ⋅ = 
− −  3p
6 1 7= − − = − 2p
b) ( ) ( ) 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2
y y x x xy x yx y xy yx
xA y yA x x y x y x y
+ + + − − −     
− = − = =     
− − − − +      2p
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 0 2 0 0
2 1 2
x y x y x y A
x y x y
 −   
= = − = −   
− − − −  
, pentru orice numere reale x și y 3p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 1 0 1 0 1 0 0 4 1aA A a a A aA A a A a A A a I− − − = + ⇒ − + = + = + 3p
( ) 2
4 1 7 1a a a+ = + ⇔ = sau 3a = 2p
2.a) ( )3 3
4 6 2 1 4 1 6 1 2f X X f= − + ⇒ = ⋅ − ⋅ + = 3p
4 6 2 0= − + = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) Restul împărțirii polinomului f la 2 1X X+ + este egal cu 6 4X m− + + 3p
Cum pentru orice număr real m restul este nenul, polinomul f nu se divide cu 2 1X X+ + 2p
c) 1 2 1 3 2 3
3
2
x x x x x x+ + = − , 1 2 2 3 3 1
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 6
4
x x x x x xm
x x x x x x x x x m
+ +
= − ⇒ + + = = 3p
2
6 4
m m
  = − 
  și, cum m este număr real nenul, obținem 9m = − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 2 2
1 ln 1
' 0
x x
xf x x x
⋅ −  
= − − − = 
 
3p
2 2
1 ln 1 lnx x
x x
− −
= − = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 0f = , ( )' 1 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )'1 1 1y f f x− = − , adică 0y = 3p
c) ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,1x f∈ ⇒ este descrescătoare pe ( ]0,1 și ( )' 0f x ≥ , pentru orice
[ )1,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )1, +∞ 2p
( ) ( ) ( )1 0f x f f x≥ ⇒ ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci ( ) 0f x ≥ ln 1
1 0
x
x x
⇒ − − ≥ ,
deci ln 1
1
2
x
x x
≤ − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
2 2 4
3 2 3
0 0
23
1 3 3 1 4 0
x
x f x dx x x dx x x
 
+ = + + = + + =  
 
∫ ∫ 3p
12 8 2 22= + + = 2p
b)
( ) 3 3 3
1 1 2
0 0
11 3
1 0
x x x
f x e dx x e dx e
x
 
− = = = 
+ 
∫ ∫ 3p
1e= − 2p
c)
( ) ( ) ( )
1 1
2
2
0 0
11 1
1 1 2 201
g x V g x dx dx
x xx
π
π π
π
π
π= ⇒ = = = − = − + =
+ ++
∫ ∫ 3p
2
2 n
n
π π
= ⇔ = 2p