Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2018 – sesiunea specială, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinaţi al doilea termen al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 7a = și 3 15a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2f x x= + . Determinaţi numerele naturale n , pentru care
( ) 8f n < .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 1x x− = + .
5p 4. Determinaţi numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii { }0, 1, 2, 3, 4 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele 1 : 2
2
x
d y = + și ( )2 : 3 1d y m x= − + , unde m este
număr real. Determinați numărul real m , pentru care dreptele 1d și 2d sunt perpendiculare.
5p 6. Arătaţi că, dacă 1
sin 2 2
x = , atunci ( )2 3
sin cos 2
x x+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ), 9
a b
X a b b a
 
=  
 
, unde a și b sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )( )det 3,1 0X = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ), , 9 ,X a b X c d X ac bd ad bc= + + , pentru orice numere reale a , b , c și d .
5p c) Determinați perechile de numere întregi ( ),m n pentru care ( )( )det , 1X m n = .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 4 7f X X X m= − − + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 9m = , arătați că ( )1 0f = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu 2X + .
5p c) Determinați numărul real m , știind că suma a două rădăcini ale polinomului f este egală cu 1.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 1x
f x x e= − + .
5p a) Arătaţi că ( )' x
f x xe= , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că 1
n n
e n
≤ − , pentru orice număr natural n , 2n ≥ .
2. Se consideră funcția [ ): 2,f +∞ → ℝ , ( ) 2f x x x= − .
5p a) Arătați că ( )
3
2
4
2 3
f x x dx− =∫ .
5p b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției
[ ]: 0,1g → ℝ , ( ) ( )2
2
xf x
g x e
x
+
= ⋅
+ este egal cu
π .
5p c) Calculați
( )
3
2
1
2
lim
x
x
f t dt
t
x→+∞
⋅ −∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3
2
7 15
2 2
a a
a + +
= = = 3p
11= 2p
2. 3 2 8 2n n+ < ⇔ < 2p
Cum n este număr natural, obținem 0n = sau 1n = 3p
3. ( )22 1 1 2 2 0x x x− = + ⇒ + = 3p
1x = − , care convine 2p
4. 3
5
5!
3! 2!
C = =
⋅ 3p
10= 2p
5.
1
1
2
dm = , 2 3dm m= − 2p
1d și 2d sunt perpendiculare ( )1 2
1
1 3 1 1
2
d dm m m m⇔ ⋅ = − ⇔ − = − ⇔ = 3p
6. ( )2 2 21
sin 2 sin cos sin 2sin cos cos 1 sin 2
2
x x x x x x x x= ⇒ + = + + = + = 3p
1 3
1 2 2
= + = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
3 1 3 1
3,1 det 3,1 3 3 9 1
9 3 9 3
X X
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
9 9 0= − = 2p
b) ( ) ( ) 9
, , 9 9 9 9 9
a b c d ac bd ad bc
X a b X c d b a d c bc ad bd ac
+ +    
= = =    
+ +     3p
( ) ( )
9 9 ,
9 9
ac bd ad bc X ac bd ad bc
ad bc ac bd
+ + 
= = + + 
+ + 
, pentru orice numere reale a , b , c și d 2p
c) ( )( ) 2 2
det , 9X m n m n= − 2p
Cum m și n sunt numere întregi, ( )( )3 3 1 3 3 1m n m n m n m n− + = ⇒ − = + = − sau
3 3 1m n m n− = + = și obținem ( )1,0− sau ( )1,0 3p
2.a) ( )3 2 3 2
2 4 7 9 1 2 1 4 1 7 1 9f X X X f= − − + ⇒ = ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 2p
2 4 7 9 0= − − + = 3p
b) ( ) ( ) ( )2 0 2 2 2 4 2 7 2 0f m− = ⇔ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − + = 3p
8 3 2m = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 1 2 1x x+ = și 1 2 3 32 1x x x x+ + = ⇒ = 3p
( )1 0 9f m= ⇒ = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )( )' '1 1x x
f x x e x e′ = − + − = 2p
( )1x x x
e x e xe= + − = , x ∈ ℝ 3p
b) ( ) 1
lim lim 1 1xx x
x
f x e−→ −∞ → −∞
− 
= + = 
  , deoarece 1 1
lim lim 0x xx x
x
e e− −→ −∞ → −∞
− = =
− 3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre −∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )0,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )0,+∞ și, cum ( )0 0f = ,
obținem ( ) 0f x ≥ , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ 3p
1 0f n
  ≥ 
  , pentru orice număr natural n , 2n ≥ , deci
1
1 1 1 0 1
nn n
e e
n n
 
− + ≥ ⇒ ≤  − 
2p
2.a)
( ) ( )
3 3 3 2
2 2
3
2 2 3 2
x
f x x dx x x dx x
 
− = − = − =  
 
∫ ∫ 3p
8 4
9 9 4
3 3
= − − + = 2p
b)
( ) ( ) ( )
1 1
2
0 0
1
1 0
x x x
g x xe V g x dx xe dx x e
π
π
π= ⇒ = = = − =∫ ∫ 3p
( ) 0
0 1 e
π
π= − ⋅ − ⋅ = 2p
c)
( ) 2 2
3 3
1 9
2 22 3
x x xt x
f t dt t dt
t
−
⋅ = = =
−
∫ ∫ 3p
( ) 2
3
2 2
1
2 9 1
lim lim 22
x
x x
f t dt
t x
x x→+∞ →+∞
⋅ − −
= =
∫ 2p