Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2018 – sesiunea iunie–iulie, 27 iunie 2018, varianta 5, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )( ) ( )1 1 1 1 0i i i i+ + − + − − = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 1f x x x= − + . Calculați ( )( )1f f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2
2 2log 5 7 log 3x x− + = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale pare de două cifre,
acesta să fie divizibil cu 5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,3A , ( )2,1B − , ( )4,3C și ( )8,5D .
Demonstrați că patrulaterul ABCD este paralelogram.
5p 6. Arătați că sin 3cos 2 2x x+ = , știind că tg 1x = și 0, 2
x
π 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 5
1
a
X a a
 
=  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 4X = − .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )2018 2018X a X a X X− + = − + , pentru orice număr real a .
5p c) Determinaţi perechile de numere reale ( ),a b pentru care ( ) ( ) ( ) ( )X a X b X a X b= + .
2. Se consideră polinomul 3 2
2f X X X m= − − + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 2m = , arătați că ( )2 0f = .
5p b) Arătați că, dacă polinomul f se divide cu 1X + , atunci polinomul f se divide cu 2 3 2X X− + .
5p c) Determinați numărul real nenul m , știind că 31 2
2 3 3 1 1 2
6
xx x
x x x x x x
+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1 2
1 2 3
x x x
f x x x x
+ +
= + +
+ + + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1
'
1 2 3
f x
x x x
= + +
+ + +
, ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcţiei f .
5p c) Determinați imaginea funcției f .
2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
3 2 1 lnf x x x x= + + + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
ln 11f x x dx− =∫ .
5p b) Arătați că ( ) 2
1
3 4 4
2
e f x e e
dx
x
+ −
=∫ .
5p c) Determinați numărul real a , 1a > , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa
Ox și dreptele de ecuații 1x = și x a= are aria egală cu 3 2 2a a a+ + − .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( ) ( )2
1 1 1 1 1 1 1i i i i i i i+ + − + − − = + + − − + = 3p
1 2 1 0i i= + − − + = 2p
2. ( )1 0f = 2p
( )( ) ( )1 0 1f f f= = 3p
3. 2 2
5 7 3 5 4 0x x x x− + = ⇒ − + = 2p
1x = sau 4x = , care convin 3p
4. Mulțimea numerelor naturale pare de două cifre are 45 de elemente, deci sunt 45 de cazuri
posibile 1p
În mulțimea numerelor naturale pare de două cifre sunt 9 numere divizibile cu 5 , deci sunt
9 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 9 1
nr. cazuri posibile 45 5
p = = = 2p
5. 6A Cx x+ = , 6B D A C B Dx x x x x x+ = ⇒ + = + 2p
6A Cy y+ = , 6B D A C B Dy y y y y y+ = ⇒ + = + ⇒ segmentele AC și BD au același mijloc,
deci ABCD este paralelogram 3p
6. Cum 0, 2
x
π 
∈ 
  și tg 1x = , obținem 4
x
π
= 2p
2 3 2 4 2
sin 3cos 2 2
4 4 2 2 2
π
π
+ = + = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 5 1 5
1 det 1 1 1 1 5
1 1 1 1
X X
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
1 5 4= − = − 2p
b) ( ) ( ) 5 5 0 10
1 1 2 0
a a
X a X a a a
−     
− + = + = =     
−      3p
( ) ( )
2018 5 2018 5 2018 2018
1 2018 1 2018 X X
−   
= + = − +   
−   
, pentru orice număr real a 2p
c) ( ) 105 5
25
a bab a b
a ba b ab
+ + +  
=   
++ +    3p
Cum 2a b+ = și 3ab = − , obținem perechile ( )1,3− și ( )3, 1− 2p
2.a) ( )3 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2f X X X f= − − + ⇒ = − ⋅ − + = 3p
8 8 2 2 0= − − + = 2p
b) ( )1 0 2f m− = ⇒ = , deci 3 2
2 2f X X X= − − + 3p
Restul împărțirii lui f la 2 3 2X X− + este 0 , deci f se divide cu 2 3 2X X− + 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 2x x x+ + = , 1 2 1 3 2 3 1x x x x x x+ + = − , 1 2 3x x x m= − 3p
2 2 2
1 2 3
1 2 3
6
6 6
x x x
x x x m
+ + = ⇔ =
− , deci 1m = − 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )2 2 2
1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1
1 2 3
x x x x x x
f x
x x x
⋅ + − ⋅ ⋅ + − + ⋅ ⋅ + − + ⋅
′ = + + =
+ + + 3p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 1 3 2 1 1 1
1 2 3 1 2 3
x x x x x x
x x x x x x
+ − + − − + − −
= + + = + +
+ + + + + +
, ( )1,x ∈ − +∞ 2p
b) ( ) 1 2
lim lim 3
1 2 3x x
x x x
f x x x x→ +∞ → +∞
+ + 
= + + = 
+ + +  3p
Dreapta de ecuație 3y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcţiei f 2p
c) ( ) 0f x′ > , pentru orice ( )1,x f∈ − +∞ ⇒ este crescătoare pe ( )1,− +∞ 2p
f este continuă pe ( )1,− +∞ , ( )
1
1
lim
x
x
f x
→−
>−
= −∞ și ( )lim 3
x
f x
→+∞
= , deci ( )Im ,3f = −∞ 3p
2.a)
( )( ) ( ) ( )
2 2 2 3 2
1 1
2
ln 3 2 1 1
f x x dx x x dx x x x− = + + = + + =∫ ∫ 3p
( ) ( )8 4 2 1 1 1 11= + + − + + = 2p
b) ( ) 2
1 1 1
1 ln 3 ln
3 2 2 ln
2 1
e e eef x x x x
dx x dx x x dx
x x x x
  
= + + + = + + + =       
∫ ∫ ∫ 3p
2 2
23 4 5 1 3 4 4
ln
2 2 21
ee e e e
x
+ − + −
= + = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2
1 1
3 2 1 ln ln ln 2
1 1
a a a a
f x dx x x x dx x x x x x x a a a a= = + + + = + + + − = + + −∫ ∫
A 3p
3 2 3 2
ln 2 2 ln 1a a a a a a a a+ + − = + + − ⇒ = , deci a e= 2p