Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2018 – sesiunea august–septembrie, 22 august 2018, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )( )3 3 1 3 1 12 0− + − = .
5p 2. Determinați numărul real a , pentru care graficele funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 3f x x x= + + și
:g →ℝ ℝ , ( )g x x a= + se intersectează într-un punct de abscisă 1x = .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 1x x+ = − .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii { }0,1, 2,3, 4 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreptele 1d , de ecuație 2y ax= + şi 2d , de ecuație
1
4
x
y = + . Determinaţi numărul real a , știind că dreptele 1d și 2d sunt paralele.
5p 6. Arătați că ( ) ( ) ( ) ( )sin cos 2 sin 2 cos sin 2x x x x x
π
π
π
π− + − + − = , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
, 3 2
3 2
A − − 
=  
 
și ( ) 2M x I x A= + , unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 0M = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )2018 2018M x M M M x− = − − − , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați perechea de numere naturale nenule ( ),m n pentru care ( ) ( ) ( )M m M n M mn= .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 8x y xy x y= + + .
5p a) Arătați că 1 1 1
8 8 8 8
x y x y
  
= + + −  
  
 , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați numerele reale x , pentru care 1x x = .
5p c) Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 8 1f x x= + . Demonstrați că ( ) ( ) ( ) ( )f x y z f x f y f z= ⋅ ⋅  ,
pentru orice numere reale x , y și z .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
1
3
xf x x
+= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
( )22
1 3
'
3
x x
f x
x
− +
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )3
2 3f f> .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) x
f x x e= .
5p a) Arătați că ( )3
0
9x
x f x dx
e =∫ .
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f are un singur punct de inflexiune.
5p c) Determinați numărul natural nenul n , pentru care suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei
f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = și x n= are aria egală cu 1.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( )3 3 1 3 1 12 3 3 1 2 3− + − = − − = 3p
2 3 2 3 0= − = 2p
2. ( ) ( ) 2
1 1 1 2 1 3 1 6 1f g a a= ⇔ + ⋅ + = + ⇔ = + 3p
5a = 2p
3. 1 1 2 2 0x x x x+ = − + ⇒ = 3p
0x = , care convine 2p
4. Cifra sutelor se poate alege în 4 moduri 1p
Pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege în 4 moduri 1p
Pentru fiecare alegere a primelor două cifre, cifra unităților se poate alege în 3 moduri, deci
se pot forma 4 4 3 48⋅ ⋅ = de numere 3p
5.
1dm a= , 2
1
4
dm = 2p
Dreptele 1d și 2d sunt paralele 1 2
1
4
d dm m a⇔ = ⇔ = 3p
6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin cos 2 sin 2 cos sin cos sin cosx x x x x x x x
π
π
π
π− + − + − = − − = 3p
2sin cos sin 2x x x= = , pentru orice număr real x 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 det 1 2 3 3 2
3 3 3 3
M M
− − − − 
= ⇒ = = − ⋅ − ⋅ − = 
  3p
6 6 0= − + = 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22018 2018 2018M x M I x A I A I x A I A− = + − + = + − − = 2p
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 22018 2018I A I x A M M x= + − − + − = − − − , pentru orice număr real x 3p
c) ( )( )2 2 2 2 2I mA I nA I mnA I mA nA mnA A I mnA+ + = + ⇔ + + + ⋅ = + și, cum A A A⋅ = − ,
obținem m n mn mn+ − = 3p
Cum m și n sunt numere naturale nenule, ( ) ( )2 , 1,1m n mn m n+ = ⇒ = 2p
2.a) 1 1
8 8 8
x y xy x y= + + + − =
 3p
1 1 1 1 1 1
8 8
8 8 8 8 8 8
x y y x y
      
= + + + − = + + −      
       , pentru orice numere reale x și y 2p
b) 2 2
1 1 1 9
8 1
8 8 8 64
x x
   
+ − = ⇔ + =   
    3p
1
2
x = − sau 1
4
x = 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )8 8 1 64 8 8 1 8 1 8 1f x y xy x y xy x y x y f x f y= + + + = + + + = + + = ⋅
 , pentru
orice numere reale x și y 3p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y z f x y f z f x f y f z= ⋅ = ⋅ ⋅
 
 
 , pentru orice numere reale x , y și z 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
22
1 3 1 2
3
x x x
f x
x
⋅ + − + ⋅
′ = =
+
3p
( )
( )( )
( )
2
2 22 2
1 32 3
3 3
x xx x
x x
− +− − += =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 1
0 3
f = , ( ) 1
' 0 3
f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 1 1
3 3
y x= + 3p
c) ( )' 0f x < , pentru orice ( )1,x f∈ +∞ ⇒ este strict descrescătoare pe ( )1, +∞ 3p
( ) ( )3 3
1 2 3 2 3f f< < ⇒ > 2p
2.a) ( )3 3 32 3
2
0 0 0
3
3 0
x
x x
x f x x e x
dx dx x dx
e e
= = = =∫ ∫ ∫ 3p
27 0 9
3
= − = 2p
b) :F →ℝ ℝ este o primitivă a lui ( ) ( )' x
f F x f x x e⇒ = = , ( ) ( )'' 1 x
F x x e= + , x ∈ ℝ 2p
( )'' 0F x < , pentru orice ( ), 1x ∈ −∞ − , ( )'' 1 0F − = și ( )'' 0F x > , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ ,
deci F are un singur punct de inflexiune 3p
c)
( ) ( ) ( )
0 0
1 1 1
0
n n x x n
n
f x dx xe dx x e n e= = = − = − +∫ ∫
A 3p
( )1 1 1 1n
n e n− + = ⇔ = 2p