Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2018 – 27 iunie 2018, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul complex z , știind că 2 1 3z z i− = − , unde z este conjugatul lui z .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x mx= − + , unde m este număr real. Determinați
numerele reale m , știind că vârful parabolei asociate funcției f se află pe axa Ox .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )
lg 1
lg 2 2
x
x =
+ .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să aibă cifrele distincte și impare.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )5, 2A − și dreapta d de ecuație 1y x= + .
Determinaţi ecuația dreptei care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta d .
5p 6. Arătați că sin cos 0
4 4
x x
π
π   
+ − − =   
    , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2 1 1
1 2 1
1 1 2
m
M m m
m
 
 =  
 
 
și sistemul de ecuații
2 1
2 0
2 1
mx y z
x my z
x y mz
+ + = −
 + + =
 + + =
, unde
m este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 2M = .
5p b) Determinați numerele reale m , știind că ( )( )det 0M m = .
5p c) Pentru 1m = − , demonstrați că, dacă ( ), ,a b c este o soluţie a sistemului, cel mult unul dintre
numerele a , b și c este întreg.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3
4 3 3 2
x y xy x y∗ = + + + .
5p a) Demonstrați că 3 3 3
4 4 4 4
x y x y
  
∗ = + + −  
   , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinaţi numărul real x pentru care 1
2
x x x∗ ∗ = − .
5p c) Determinaţi numerele reale a , știind că ( ) ( ) ( )f x f y f x y∗ = + , pentru orice numere reale x și
y , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 3
4
x
f x ae= − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
8 lnf x x x= − .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )4 1 4 1
' x x
f x x
− +
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Demonstrați că punctul 2 ,3
3
A 
 
  aparține tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă
1x = , situat pe graficul funcţiei f .
5p c) Demonstrați că 1 1 1
3 27
f f f
    
< <    
     .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia ( ): 3,f − +∞ → ℝ , ( ) 2 3
3
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătaţi că ( ) ( )
1
0
3 4x f x dx+ =∫ .
5p b) Arătați că ( )
1
0
4
2 3ln 3
f x dx = −∫ .
5p c) Pentru fiecare număr natural n , se consideră numărul ( ) ( )( )
1
0
3 nnx
nI e x f x dx= +∫ . Demonstrați că
12 5 3n n
n nI nI e−+ = ⋅ − , pentru orice număr natural n , 1n ≥ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. z a bi= + , 2 3z a bi z z a bi= − ⇒ − = − , unde a și b sunt numere reale 3p
3 1 3 1a bi i a− = − ⇒ = și 1b = , deci 1z i= + 2p
2. 0 0Vy = ⇔ ∆ = 3p
Cum 2 4m∆ = − , obținem 2 4 0m − = , deci 2m = − sau 2m = 2p
3. ( ) 2
2lg lg 2 2 0x x x x= + ⇒ − − = 3p
1x = − , care nu convine, 2x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 1p
Mulțimea numerelor naturale de două cifre, care au cifrele distincte și impare are 20 de
elemente, deci sunt 20 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 20 2
nr. cazuri posibile 90 9
p = = = 2p
5. Panta dreptei d este 1dm = ⇒ panta unei drepte perpendiculare pe dreapta d este 1m = − 3p
Ecuația dreptei care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta d este 3y x= − − 2p
6. sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin
4 4 4 4 4 4
x x x x x x
π
π
π
π
π
π     
+ − − = + − + =     
      2p
( )
2 cos sin cos sin 0
2 x x x x= + − − = , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 det 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0
M M
 
 = ⇒ = = 
 
 
2p
0 1 1 0 0 0 2= + + − − − = 3p
b)
( )( ) ( )( )2
2 1 1
det 1 2 1 2 1 2 1
1 1 2
m
M m m m m
m
= = + − , pentru orice număr real m 3p
1m = − sau 1
2
m = 2p
c) 1
3
a b− = , 1
3
b c− = și 2
3
a c− = 3p
Deoarece a b− ∉ ℤ , b c− ∉ ℤ și a c− ∉ ⇒ℤ cel mult unul dintre numerele a , b și c este
întreg 2p
2.a) 9 3
4 3 3 4 4
x y xy x y∗ = + + + − = 2p
3 3 3 3 3 3
4 3 4
4 4 4 4 4 4
x y y x y
       
= + + + − = + + −       
        , pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 2
3 3
4 4 4
x x x
 
∗ = + − 
  ,
3
3 3
16 4 4
x x x x
 
∗ ∗ = + − 
  , pentru orice număr real x 2p
3 3
3 3 1 3 1
16 4 4 2 4 64
x x
   
+ − = − ⇔ + =   
    , de unde obținem 1
2
x = − 3p
c) ( ) ( )3 3 3 3 3 34 4 4 4 4 4 4
x y x y
ae ae ae +
− + ⋅ − + − = − , pentru orice numere reale x și y 2p
2
4a a= , deci 0a = sau 1
4
a = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1
' 16f x x x
= − = 3p
( )( )2 4 1 4 116 1 x xx
x x
− +−
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 8f = , ( )' 1 15f = , deci ecuaţia tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1 15 7y f f x y x− = − ⇔ = − 3p
2
15 7 3
3
⋅ − = , deci punctul 2 ,3
3
A 
 
  aparține tangentei la graficul funcţiei f în punctul de
abscisă 1x = , situat pe graficul funcţiei f
2p
c) ( )
1 , ' 0
4
x f x
 
∈ +∞ ⇒ > 
  , deci f este strict crescătoare pe 1 ,
4
 
+∞ 
  2p
Cum 1 1 1 1
4 3 27
< < < , obținem 1 1 1
3 27
f f f
    
< <    
     3p
2.a)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2
0 0
1
3 2 3 3 0
x f x dx x dx x x+ = + = + =∫ ∫ 3p
1 3 0 4= + − = 2p
b)
( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1 12 3 3
2 2 3ln 3
3 3 0 0
x
f x dx dx dx x x
x x
+  
= = − = − + = 
+ + 
∫ ∫ ∫ 3p
( ) 4
2 3 ln 4 ln 3 2 3ln 3
= − − = − 2p
c)
( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0
1
2 3 2 3 2 2 3
0
n n nx x x
nI e x dx e x n e x dx
−
= + = + − + =∫ ∫ 3p
15 3 2n n ne nI −= ⋅ − − , deci 12 5 3n n
n nI nI e−+ = ⋅ − , pentru orice număr natural n , 1n ≥ 2p