Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2018 – sesiunea specială, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 1 2z i= − . Arătați că 2 2 5 0z z− + = .
5p 2. Determinați numerele reale a și b , pentru care graficele funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x a= + și
:g →ℝ ℝ , ( ) 2g x bx= + se intersectează în punctul ( )2,8M .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )3 3log 4 5 1 log 3x x+ = + + .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifrele pare.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 2A , ( )4,1B şi ( )0,8C . Determinaţi lungimea
segmentului CM , știind că M este simetricul punctului A față de punctul B .
5p 6. Calculați aria paralelogramului ABCD , știind că 6AB = , 10AC = și ( ) 6
m BAC
π
=∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1 1
1 1 1
1 1
M a a
a
 
 = + − 
 − 
și sistemul de ecuații ( )
2
1 0
1
x y z
a x y z
x y az
+ + =
 + − + =
 + − =
, unde
a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 0M − = .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care ( )( )det 0M a = .
5p c) Determinați numerele reale a , știind că sistemul are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z și 0 0 02 0x y z+ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )
1 20
10
x y xy x y∗ = − + + .
5p a) Demonstrați că ( )( )
1 10 10 10
10
x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care 101
10
x x∗ ≤ .
5p c) Calculați 2 2 2 2log 1 log 2 log 3 log 2018∗ ∗ ∗ ∗… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )3 2
2 3 6 6ln 1f x x x x x= − + − + .
5p a) Arătaţi că ( ) 3
6
' 1
x
f x x
= + , ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Demonstrați că valoarea minimă a funcției f este 0 .
5p c) Calculați ( )
0
lim
x
f x
x→
.
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 1 x
f x x x e= + + .
5p a) Arătaţi că ( )
1
0
11
6
x
f x e dx− =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f are exact două puncte de inflexiune.
5p c) Arătați că ( )
0 0
1
lim 1
t
t f x dx
t→ =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )22 2 5 1 2 2 1 2 5z z i i− + = − − − + = 2p
2
1 4 4 2 4 5 1 4 2 5 0i i i= − + − + + = − − + = 3p
2. ( ) ( )2,8 2 8 4 8 4fM G f a a∈ ⇒ = ⇒ + = ⇒ = 3p
( ) ( )2,8 2 8 2 2 8 3gM G g b b∈ ⇒ = ⇒ + = ⇒ = 2p
3. ( ) ( )3 3log 4 5 log 3 3 4 5 3 9x x x x+ = + ⇒ + = + 3p
4x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 1p
Numărul numerelor naturale de două cifre, care au cifrele pare este egal cu 20 , deci sunt
20 de cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 20 2
nr. cazuri posibile 90 9
p = = = 2p
5. Punctul B este mijlocul segmentului AM , deci ( )6,0M 3p
10CM = 2p
6. ( )2 sin 6 10 sin 6
ABCD ABC AB AC BAC
π
∆= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =∢
A
A 3p
1
6 10 30
2
= ⋅ ⋅ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 det 1 0 1 1
1 1 1 1 1 1
M M
 
 − = − ⇒ − = − = 
 
 
2p
( ) ( )1 0 1 1 0 1 0= − + + − − − − = 3p
b)
( )( ) ( )( )
1 1 1
det 1 1 1 1 2
1 1
M a a a a
a
= + − = + +
−
, pentru orice număr real a 3p
2a = − sau 1a = − 2p
c) Sistemul are soluție unică ( )0 0 0, ,x y z , deci { }\ 2, 1a ∈ − −ℝ și soluția sistemului este
( )( ) ( )( )
2
2 2 3 2 1
, ,
1 2 1 2 1
a a a
a a a a a
 + +
  + + + + + 
2p
( )( ) ( ) ( )
2 2
2
4 2 3 2 0 6 7 2 0
1 2 1 2
a a a a a
a a a a
+ +
+ = ⇔ + + =
+ + + +
, deci 2
3
a = − sau 1
2
a = − , care convin 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 1 10 10
10
x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )
1 1
10 10 10 10 10 10
10 10
x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
b) ( ) ( )2 21 101
10 10 10 1
10 10
x x− + ≤ ⇔ − ≤ 3p
[ ]9,11x ∈ 2p
c) 10 10x ∗ = și 10 10x∗ = , pentru orice număr real x 2p
( )( )2 2 2 2 2 2 2log 1 log 2 log 2018 log 1 log 1023 10 log 1025 log 2018∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =… … …
( )2 210 log 1025 log 2018 10= ∗ ∗ ∗ =… 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2 6
' 6 6 6 1
f x x x x
= − + − =
+ 3p
3 2 2 3
6 6 6 6 6 6 6 6
1 1
x x x x x x
x x
+ − − + + −
= =
+ + , ( )1,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )' 0 0f x x= ⇔ = 1p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]1,0x ∈ − , deci f este descrescătoare pe ( ]1,0− și ( )' 0f x ≥ ,
pentru orice [ )0,x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe [ )0,+∞ 2p
( ) ( )0f x f≥ , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ și, cum ( )0 0f = , valoarea minimă a funcției f
este 0 2p
c) ( ) ( ) 2
20 0 0
' 3
lim lim lim 0
2 1x x x
f x f x x
x xx→ → →
= = =
+ 2p
( ) ( )
0 0
lim 0 lim 0
x x
f x f x
x x→ →
= ⇒ = 3p
2.a)
( ) ( )
1 1 3 2
2
0 0
1
1 3 2 0
x x x
f x e dx x x dx x−  
= + + = + + =  
 
∫ ∫ 3p
1 1 11
1 0
3 2 6
= + + − = 2p
b) :F →ℝ ℝ este o primitivă a funcției ( ) ( ) ( ) ( )2'' 3 2 x
f F x f x F x x x e′⇒ = ⇒ = + + , x ∈ ℝ 2p
( )" 2 0F − = , ( )" 1 0F − = , ( )" 0F x > pentru orice ( ), 2x ∈ −∞ − , ( )" 0F x < pentru orice
( )2, 1x ∈ − − și ( )" 0F x > pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ , deci F are exact două puncte de
inflexiune
3p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0
'01
lim lim lim 1
t
t t t
F t F F t
f x dx
t t→ → →
−
= = =∫ 3p
( )
0
lim 1
t
f t
→
= = 2p