Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2018 – sesiunea august–septembrie, 22 august 2018, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul 1 2 2 2n = − + − este natural.
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 11f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 1 11g x x= − . Rezolvați în
mulțimea numerelor reale inecuația ( ) ( )f x g x≥ .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1
3 2 72x x+
⋅ = .
5p 4. Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma folosind doar cifre impare.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,3A − , ( )1,3B și ( )1,5C . Calculați aria
triunghiului ABC .
5p 6. Calculați lungimea razei cercului circumscris ABC∆ , ştiind că 4BC = , 3
B
π
= și 6
C
π
= .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
1 2 0
0 1 0
0 0 x
x
A x
e −
 −
 
=  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 1A = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2A x A y A x y= + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale m pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 3 10 17A A A A A m m⋅ ⋅ = + +… .
2. Se consideră polinomul 3 2
4 5f X X X a= − + + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( )1 1 12f f− − = .
5p b) Determinați numărul real a , știind că polinomul f este divizibil cu polinomul 2X − .
5p c) Determinați numărul real a , știind că toate rădăcinile polinomului f sunt numere întregi.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1 lnf x x
x
= .
5p a) Arătați că ( ) 2 ln
' 2
x
f x x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f , în care tangenta la graficul funcţiei f
este perpendiculară pe axa Oy .
5p c) Demonstrați că 3 2
2 3< .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2
4f x x x= − .
5p a) Arătaţi că ( )
3
0
9f x dx =∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătaţi că ( )
2
1
2 1 4
ln
2 3
x dx
f x
− =∫ .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul ( )
4
0
n
nI f x dx= ∫ . Demonstraţi că
1 4n nI I+ ≤ , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 2 2 1− = − , 2 2 2 2− = − 2p
2 1 2 2 1n = − + − = ∈ ℕ 3p
2. 11 1 11 10 10x x x− ≥ − ⇔ ≥ − 3p
[ )1,x ∈ − +∞ 2p
3. ( )3 2 2 72 6 36
x x
⋅ ⋅ = ⇔ = 3p
2x = 2p
4. Cifra sutelor se poate alege în 5 moduri și, pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra
zecilor se poate alege în 4 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a primelor două cifre, cifra unităților se poate alege în 3 moduri, deci
se pot forma 5 4 3 60⋅ ⋅ = de numere 3p
5. 4AB = , 2BC = 2p
ABC∆ este dreptunghic în B , deci 2 4 4
2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
6.
3 6 2
A
π π π
π  
= − + = 
  2p
2
2
BC
R = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0
1 0 0 1 0 0
2 0 1 0 det 2 0 1 0
0 0 10 0
A A
e
 
 
= ⇒ = = 
 
 
3p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 2p
b)
( ) ( ) 2 2
1 2 2 0
0 1 0
0 0 x y
y x
A x A y
e e− −
 − + −
 
= = 
 
⋅ 
3p
( )
4
1 4 0
0 1 0 2
0 0 x y
x y
A x y
e + −
 + −
 
= = + − 
 
 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( )2 2
1 2 10 2 9 17 20 0A A m m m m+ + + − ⋅ = + + ⇔ + − =… 3p
5m = − sau 4m = 2p
2.a) ( )1 2f a= + 2p
( ) ( ) ( )1 10 1 1 2 10 12f a f f a a− = − ⇒ − − = + − + = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) Polinomul f este divizibil cu polinomul ( )2 2 0X f− ⇔ = 2p
( )2 2f a= + , deci 2a = − 3p
c) 1 2 3 4x x x+ + = , 1 2 1 3 2 3 5x x x x x x+ + = 2p
1 2 3, ,x x x ∈ℤ și 2 2 2
1 2 3 6x x x+ + = , deci pătratele rădăcinilor sunt 1, 1 și 4; cum 1 2 3 4x x x+ + = ,
obținem rădăcinile 1, 1 și 2, deci 2a = − , care convine 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1 1 1 1
' ln
2
f x x xx x x
= − ⋅ ⋅ + ⋅ = 3p
ln 1 2 ln
2 2
x x
x x x x x x
−
= − + = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( ),a f a este perpendiculară pe axa
( )' 0Oy f a⇔ = 3p
2
2 ln 0a a e− = ⇔ = 2p
c) ( )' 0f x > , pentru orice ( )2
0,x e∈ , deci f este strict crescătoare pe ( )2
0,e 2p
( ) ( )2 1 1
0 2 3 2 3 ln 2 ln 3 3 ln 2 2 ln 3
2 3
e f f< < < ⇒ < ⇒ < ⇒ < , deci 3 2
2 3< 3p
2.a)
( )
3 3
2 2
0
3
4 2 3 0
x
x x dx x
 
− = − =  
 
∫ 3p
18 9 9= − = 2p
b)
( ) ( )
2 2 2
2
1 1
22 2 1 ln 4
24 1
x x
dx dx x x
f x x x
− −
= = − =
−
∫ ∫ 3p
1 1 1 4
ln 4 ln 3 ln
2 2 2 3
= − = 2p
c)
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
4 4 4 4 21 2
1
0 0 0 0
4 4 4 4 2n n n n
n nI I f x dx f x dx f x x x dx f x x dx+
+ − = − = − − = − −∫ ∫ ∫ ∫ 3p
( ) 0f x ≥ , pentru orice [ ] ( )( )2
0, 4 2 0n
x f x x∈ ⇒ − ≥ , deci 1 14 0 4n n n nI I I I+ +− ≤ ⇒ ≤ ,
pentru orice număr natural nenul n 2p