Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2018 – 21 martie 2018, clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați rația progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 1 3b = și 4 24b = .
5p 2. Determinați numărul real a pentru care punctul ( ), 2A a aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 2 3f x x x= − + .
5p 3. Rezolvați în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )3 3 3log 1 log 1 log 8x x+ + − = .
5p 4. Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 7 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ) ( )1, 2 , 5,5A B şi ( )7,10C . Arătați că 2AC AB= .
5p 6. Calculați aria triunghiului MNP , știind că 4MN = și ( ) ( ) 75m N m P= = °∢ ∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 7
2 5
A  
=  
 
, 5 7
2 3
B − 
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că 0 7
5 3 8 2 2
A B  
− =  
 
.
5p b) Demonstrați că matricea B este inversa matricei A .
5p c) Determinați numerele reale x și y , știind că 28xA A A yI⋅ − = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă ( )2 6x y xy x y∗ = − + + .
5p a) Demonstrați că ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x şi y .
5p b) Determinați numărul real x , pentru care 3 2018x ∗ = .
5p c) Calculați 2 2 2 2log 2 log 3 log 4 log 2018∗ ∗ ∗ ∗… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 6 6 10f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( )
1
5
lim 0
1x
f x
x→
− =
− .
5p b) Determinaţi intervalele de monotonie a funcţiei f .
5p c) Demonstraţi că ( ) ( )0,9 1,1 10f f+ ≥ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) x
f x x e= .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
1
1
f x dx e e
x = −∫ .
5p b) Determinați primitiva :F →ℝ ℝ a funcției f pentru care ( )1 0F = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )
1
0
1
' 2
a
f x f x dx e=∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 3
1 24 8b q q= ⇒ = 3p
2q = 2p
2. ( ) 2
2 2 1 0f a a a= ⇔ − + = 3p
1a = 2p
3. ( )( )( ) 2
3 3log 1 1 log 8 1 8x x x+ − = ⇒ − = 3p
3x = − , care nu verifică ecuația și 3x = , care verifică ecuația 2p
4. Cifrele pot fi 1 sau 7 2p
Numerele sunt 117 , 171 și 711 3p
5. 5AB = 2p
10 2AC AC AB= ⇒ = 3p
6. 4MP = 2p
1
4 4 2 4
2
MNP∆
⋅ ⋅
= =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 7 5 7 15 35 15 21
5 3 5 3
2 5 2 3 10 25 6 9
A B − −       
− = − = − =       
− −        3p
0 56 0 7
8
16 16 2 2
   
= =   
    2p
b) ( ) ( )
( ) ( ) 2
3 5 7 2 3 7 7 3 1 0
2 5 5 2 2 7 5 3 0 1
A B I
 ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅   
⋅ = = =   
⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅    2p
( ) ( )
( ) ( ) 2
5 3 7 2 5 7 7 5 1 0
2 3 3 2 2 7 3 5 0 1
B A I
 ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅   
⋅ = = =   
− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅   
, deci matricea B este inversa matricei A 3p
c)
2 2
3 7 8 0 5 7
8 8 2 5 0 8 2 3
x x y y
xA A B A B yI B xA I yB x x y y
−     
⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⇔ − = ⇔ − =     
−      3p
1x = , 1y = − 2p
2.a) 2 2 4 2x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x şi y 3p
b) ( )( )2 3 2 2 2018x − − + = 2p
2018x = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 2 2x ∗ = și 2 2y∗ = , pentru x și y numere reale 2p
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2log 2 log 3 log 4 log 2018 log 2 log 3 2 log 5 log 2018∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =… …
( )2 22 log 5 log 2018 2= ∗ ∗ ∗ =… 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 5
' 6 6f x x= − , x ∈ ℝ 2p
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
5 1 'lim lim 1 0
1 1x x
f x f x f f
x x→ →
− −
= = =
− − 3p
b) ( )' 0 1f x x= ⇔ = 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ],1x ∈ −∞ , deci f este descrescătoare pe ( ],1−∞ și ( )' 0f x ≥ ,
pentru orice [ )1,x ∈ +∞ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 3p
c) ( ) ( )1f x f≥ , deci ( ) 5f x ≥ , pentru orice număr real x 2p
( )0,9 5f ≥ și ( )1,1 5f ≥ , deci ( ) ( )0,9 1,1 10f f+ ≥ 3p
2.a) ( )2 2
1 1
2
1
x xf x dx e dx e
x = = =∫ ∫ 3p
( )2 1e e e e= − = − 2p
b) ( ) ( )1x x
F x xe dx x e c= = − +∫ , unde c ∈ ℝ 3p
( )1 1 0 0e c c− + = ⇒ = , deci ( ) ( )1 x
F x x e= − 2p
c)
( ) ( ) ( )
1 2 2
0
11 1
' 2 20
f x f x dx f x e= =∫ 3p
21 1 2
2 2
a
e e a= ⇒ = 2p