Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2018 – 21 martie 2018, clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul 1 1
3 1 3 1
n = −
− + este natural.
5p 2. Determinați numărul real m pentru care punctul ( )1, 2A aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 2 3f x x x m= − + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2log log 2 2xx + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2,3, 4M = , acesta să verifice
inegalitatea ( )2 ! 20
!
n
n
+ ≤ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,A a , ( ),7B b și ( )2,5C , unde a și b sunt
numere reale. Știind că punctul C este mijlocul segmentului AB , determinați numerele reale a și b .
5p 6. Calculaţi lungimea laturii AC a ABC∆ , știind că 6AB = , ( ) 45m B = °∢ și ( ) 30m C = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră determinantul ( ) 3 1
2 1
x x x
D x x
x
= −
−
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )2 16D − = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( )( )1 6D x x x x= + − , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numerele naturale a pentru care ( ) 0D a = .
2. Se consideră matricea ( ) 1 2
0 1
m
M m − 
=  
 
, unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( ) ( ) ( )1 3 2 2M M M+ = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2M m M n M m n⋅ = + − , pentru orice numere reale m și n .
5p c) Determinați numărul real x , știind că ( ) ( ) ( )2 1M x M x M x⋅ = − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 2,f +∞ → ℝ , ( ) 2 4 3
2
x x
f x x
− +
= − .
5p a) Arătați că ( )
3
lim 2
3x
f x
x→ =
− .
5p b) Calculaţi ( )
( )
2
lim
x
f x
f x→ +∞
.
5p c) Determinaţi ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcţiei f .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )
[ )
2
2 3 4, ,1
3 , 1,
x x x
f x x x
 − + ∈ −∞
=  ∈ +∞
.
5p a) Demonstrați că funcția f este continuă în punctul 1x = .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p b) Calculați ( )
3
3
lim 3x
f x
x→
−
− .
5p c) Se consideră funcția :g →ℝ ℝ , ( ) 3 4
1g x x x= + − . Demonstrați că ecuația ( )( ) 0f g x+ = are cel
puțin o soluție în intervalul ( )0,2 .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 1 3 1
2 2
n + −
= − = 3p
2 1
2
= = ∈ ℕ 2p
2. ( )1 2 1 3 2f m= ⇔ − + = 3p
1m = 2p
3. ( )2
2 2
2
1
log 2 log 1 0
log
x x
x
+ = ⇒ − = 3p
2log 1 2x x= ⇒ = , care verifică ecuația 2p
4. Mulțimea M are 4 elemente, deci sunt 4 cazuri posibile 1p
În mulțimea M sunt 3 numere care verifică inegalitatea dată, deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3
nr. cazuri posibile 4
p = = 2p
5. Mijlocul segmentului AB este punctul ( )2,5C , deci 1 2
2
b+ = și 7 5
2
a + = 3p
3a = și 3b = 2p
6. 2
6 2
1sin sin
2
AB AC AC
C B
⋅
= ⇒ = = 3p
6 2= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
2 2 2
2 3 1 2
2 2 1
D
− − −
− = − − =
− −
2p
2 12 8 4 8 6 16= − + + − + − = 3p
b)
( ) 2 2 3 3 2
3 1 3 2 2 3 5 6
2 1
x x x
D x x x x x x x x x x x
x
= − = + + + − + = − + + =
−
3p
( ) ( )( )2 5 6 1 6x x x x x x= − + + = + − , pentru orice număr real x 2p
c) ( )( )1 6 0a a a+ − = 2p
0a = sau 36a = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 0
1 3 0 1 0 1 0 2
M M −     
+ = + = =     
      3p
( )
1 0
2 2 2
0 1 M
 
= = 
  2p
b) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2
0 1 0 1 0 1
m n n m
M m M n − − − + −    
⋅ = = =    
     3p
( ) ( )
1 2 2 2
0 1
m n M m n
 − + −
= = + − 
 
, pentru orice numere reale m și n 2p
c) ( ) ( )2
2 2 1M x M x− = − 3p
2
2 2 1x x− = − , de unde obținem 1x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
3 3 3
3 14 3
lim lim lim
3 2 3 2 3x x x
f x x xx x
x x x x x→ → →
− −− +
= = =
− − − − − 3p
3
1
lim 2
2x
x
x→
−
= =
− 2p
b)
( )
( )
3
2 2
2 3
2
8 3 2
4 1
2 4 8 3 2
lim lim lim 2 4 32 2 4 3 2 1
x x x
x
f x x x x x xx
f x x x x x x x x
→ +∞ → +∞ → +∞
  
− + −   − + −   = ⋅ = =  −   − +  − − +  
  
3p
4 2
2
= = 2p
c) ( )
( )
2 4 3
lim lim 1
2x x
f x x x
x x x→ +∞ → +∞
− +
= =
− 2p
( )( ) 2 3
lim lim 2
2x x
x
f x x x→ +∞ → +∞
− +
− = = −
− , deci dreapta de ecuație 2y x= − este asimptotă
oblică spre +∞ la graficul funcției f
3p
2.a) ( ) ( )2
1 1
1 1
lim lim 2 3 4 3
x x
x x
f x x x
→ →
< <
= − + = , ( ) ( )
1 1
1 1
lim lim 3 3
x x
x x
f x x
→ →
> >
= = 2p
Cum ( )1 3f = , obținem ( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în punctul 1x = 3p
b) ( )
( )( )3 3 3
3 3 3 3 9
lim lim lim
3 3 3 3 3x x x
f x x x
x x x x→ → →
− − −
= = =
− − − + 3p
3
3 1
lim 23 3x x→
= =
+ 2p
c)
:f g+ →ℝ ℝ , ( )( ) ( )
[ )
4 3 2
4 3
2 3 5, ,1
3 1, 1,
x x x x x
f g x x x x x
− + + − + ∈ −∞
+ = − + + + ∈ +∞
este funcție continuă 2p
( )( )0 5 0f g+ = > și ( )( )2 1 0f g+ = − < , deci ecuația ( )( ) 0f g x+ = are cel puțin o soluție
în intervalul ( )0,2 3p