Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2018 – 21 martie 2018, clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați conjugatul numărului complex ( )( )1 2 5z i i i= − + + .
5p 2. Determinați numerele naturale n pentru care 2 12 0n n+ − < .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )lg 1 2lg 5x x+ = − .
5p 4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are 45 de submulțimi cu două
elemente.
5p 5. Se consideră dreptunghiul ABCD și v AB AC AD= + +

 
 
 
 . Știind că lungimea vectorului v

 este
egală cu 20 , determinați lungimea vectorului BD

 .
5p 6. Arătați că, dacă x este număr real pentru care sin cos 2x x+ = , atunci tg ctg 2x x+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2
1 0 2
2 1 2
0 0 1
x
A x x x
 
 
= − − 
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Calculați ( )( )det 2A .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )( )det 0 8A a aA+ = .
5p c) Știind că ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )det det det 18m n A x mA x nA x+ = + + , pentru orice număr real x ,
determinați numerele naturale m și n , m n< .
2. Pe mulțimea 7ℤ se definește legea de compoziție asociativă ɵ6 6 2x y xy x y∗ = + + +ɵ ɵ .
5p a) Demonstrați că ( )( )6 6 1x y x y∗ = + + +ɵ ɵ ɵ , pentru orice 7,x y ∈ ℤ .
5p b) Demonstrați că 1 1 1x x∗ = ∗ =ɵ ɵ ɵ , pentru orice 7x ∈ ℤ .
5p c) Calculați ɵ ɵ0 1 2 3 4 5 6∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 6 9x
f x e x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2 4 3x
f x e x x′ = − + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați punctele de extrem ale funcției f .
5p c) Demonstrați că ( )2 1
3 4 x
x e −
− ≤ , pentru orice ( ],3x ∈ −∞ .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )
[ )
2
3 4 1, ,1
ln , 1,
x x x
f x x x
x
 − + ∈ −∞

=  ∈ +∞

.
5p a) Demonstrați că funcția f admite primitive pe ℝ .
5p b) Arătați că ( ) ( )
1
2 4
e
f x dx e
−
= −∫ .
5p c) Determinați numărul natural n pentru care ( )
1
2 7
3
n
n
e
e
f x dx
+
=∫ .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 4z i= + 3p
3 4z i= − 2p
2. Cum n este număr natural, ( )( )4 3 0 3n n n+ − < ⇒ < 2p
0n = , 1n = sau 2n = 3p
3. ( ) ( ) ( )2 2
lg 1 lg 5 1 5x x x x+ = − ⇒ + = − 2p
2 11 24 0 3x x x− + = ⇒ = , care nu verifică ecuația și 8x = , care verifică ecuația 3p
4. O mulțime cu n elemente are 2
nC submulțimi cu două elemente 2p
( )1 45 10
2
n n n
− = ⇒ = 3p
5. 2v AC=

 
 , deci 10AC = 3p
Cum ABCD este dreptunghi, obținem 10BD = 2p
6. ( )2 1
sin cos 2 sin cos 2
x x x x+ = ⇒ = 2p
2 2
sin cos 1
tg ctg 2
1sin cos
2
x x
x x x x
+
+ = = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 4 1 0 4
2 4 1 8 det 2 4 1 8
0 0 1 0 0 1
A A
 
 
= − − ⇒ = − − = 
 
 
2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )( ) ( )32
1 0 2
det 0 2 1 2 1
0 0 1
a a
A a aA a a a a
a
+
+ = − + − = +
+
3p
( )3 3
1 2 1a a+ = ⇒ = 2p
c) ( )3 3 3 18m n m n+ = + + 2p
( ) 6mn m n+ = deci, cum m și n sunt numere naturale și m n< , obținem 1m = și 2n = 3p
2.a) ( ) ( )6 6 1 1x y xy x y∗ = + + + + =ɵ ɵ ɵ ɵ 3p
( ) ( ) ( )( )6 6 6 1 6 6 1x y y x y= + + + + = + + +ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ , pentru orice 7,x y ∈ ℤ 2p
b) ( )( )1 6 1 6 1 0 1 1x x∗ = + + + = + =ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ 2p
( )( )1 1 6 6 1 0 1 1 1x x x∗ = + + + = + = = ∗ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ , pentru orice 7x ∈ ℤ 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ɵ ɵ ( ) ɵ ɵ0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ 3p
ɵ ɵ
( )1 2 3 4 5 6 1= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' '6 9 6 9x x
f x e x x e x x′ = − + + − + = 2p
( ) ( )2 2
6 9 2 6 4 3x x
e x x x e x x= − + + − = − + , x ∈ ℝ 3p
b) ( ) 0 1f x x′ = ⇔ = și 3x = 2p
( )' 0f x > pentru orice ( ),1x ∈ −∞ , ( )' 0f x < pentru orice ( )1,3x ∈ și ( )' 0f x > pentru
orice ( )3,x ∈ +∞ , deci punctele de extrem ale funcției f sunt 1x = și 3x = 3p
c) f este crescătoare pe ( ],1x ∈ −∞ și descrescătoare pe [ ]1,3x ∈ , deci ( ) ( )1f x f≤ pentru
orice ( ],3x ∈ −∞ 3p
( )1 4f e= , deci ( ) ( ) ( )2 2 1
4 3 4 3 4x x
f x e e x e x e −
≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ , pentru orice ( ],3x ∈ −∞ 2p
2.a) ( ) ( )2
1 1
1 1
lim lim 3 4 1 0
x x
x x
f x x x
→ →
< <
= − + = , ( )
1 1
1 1
ln
lim lim 0
x x
x x
x
f x x→ →
> >
= = și, cum ( )1 0f = , obținem
( ) ( )
1
lim 1
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în 1x =
3p
Cum funcția f este continuă pe ( ),1−∞ și pe ( )1, +∞ , obținem că f este continuă pe ℝ ,
deci funcția f admite primitive pe ℝ 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2
1 1 1 1 1
ln
3 4 1
e e e x
f x dx f x dx f x dx x x dx dx
x− − −
= + = − + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2p
( ) ( ) ( )3 2 1
2 2 ln 4 4 2 4 2 4
1 1
e
x x x x x x e e= − + + − = − + = −
− 3p
c)
( )
1 1 12 3 2
2 ln ln 3 3 1
3 3
n n
n n
ne e
n
e e
ex x n n
f x dx dx
x e
+ + +
+ +
= = =∫ ∫ 3p
2
3 3 1 7
3 3
n n+ + = și, cum n este număr natural, obținem 1n = 2p