Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2018 – 21 martie 2018, clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul 5 5 5
7
log 7 log 35 2log 25
N = + − este natural.
5p 2. Știind că :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= + , calculați ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 10S f f f f f f= + + +  …  .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )2 2
2 2log 1 3 log 7 9x x+ + = + .
5p 4. Determinaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }2 3 4
, , ,A i i i i= , unde 2 1i = − ,
acesta să fie număr real.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,M n , ( ),3N n și ( )2 ,5P n , unde n este număr
natural. Știind că vectorii MN
 și MP
 sunt coliniari, determinați numărul natural n .
5p 6. Arătați că sin cos 0
3 6
x x
π
π   
− + + =   
    , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( ) 2
2 4 1
3 9 1
1
X a
a a
 
 
=  
 
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 12X − = .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care ( )( )3det 0X a I− = .
5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 4A , ( )3,9B și ( )2
,C a a , unde a este număr
natural. Determinați numerele naturale a pentru care ABC este triunghi și are aria mai mică decât 3.
2. Se consideră matricea ( ) 1 3 3
3 1 3
x x
M x x x
+ 
=  
− − 
, unde x este număr real.
5p a) Demonstrați că ( ) ( ) ( )M x M y M x y= + , pentru orice numere reale x și y .
5p b) Determinați inversa matricei ( )M x , unde x este număr real.
5p c) Determinați numărul real pozitiv x pentru care are loc egalitatea ( ) ( ) ( )5 5M x M x M+ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 2x x
f x x
− −
= .
5p a) Calculaţi ( )
2
lim 2x
f x
x→ − .
5p b) Determinați ecuaţia asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că există un singur număr natural nenul m pentru care ( )
( ) 2
lim
x
f mx m m
f x→ +∞
= − .
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )
[ )
2
1
2 4, , 2
2 2, 2,x
x ax a x
f x
x−
 − + − ∈ −∞
=  − ∈ +∞
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )
( )2
4
lim 1
1 2x
f x
x→ − ∞ =
−
, pentru orice număr real a .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Demonstrați că funcţia f este continuă pe ℝ , pentru orice număr real a .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr real a , 3a < , ecuația ( ) 0f x = are cel puțin o soluție în
intervalul ( )1,3 .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.
( ) 2
5 5
7
log 7 35 log 25
N  
= ⋅ − = 
  2p
( )
2 5
5 52
25
log 7 35 log 5 5
7
 
= ⋅ ⋅ = = ∈  
 
ℕ 3p
2. ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 10 5 6 7 14S f f f f f f= + + + = + + + + =… … 3p
95= 2p
3. ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
2 2 2log 1 log 8 log 7 9 8 1 7 9 1x x x x x+ + = + ⇒ + = + ⇒ = 3p
1x = − sau 1x = , care verifică ecuația 2p
4. Mulțimea A are 4 elemente, deci sunt 4 cazuri posibile 1p
În mulțimea A sunt 2 numere reale, deci sunt 2 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 2 1
nr. cazuri posibile 4 2
p = = = 2p
5. ( ) ( )1 3MN n i n j= − + −
   , ( ) ( )2 1 5MP n i n j= − + −
   2p
1 3
2 1 5
n n
n n
− −
=
− − și, cum n este număr natural, obținem 2n = 3p
6. cos sin
3 6
π π
= , sin cos
3 6
π π
= 2p
sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin 0
3 6 3 3 6 6
x x x x x x
π
π
π π
π
π   
− + + = − + − =   
    3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 4 1 2 4 1
1 3 9 1 det 1 3 9 1
1 1 1 1 1 1
X X
 
 
− = ⇒ − = = 
 − − 
2p
( ) ( )18 3 4 9 12 2 12= + + − − − − − = 3p
b)
( )( ) 2
3
2
1 4 1
det 3 8 1 2 4
0
X a I a a
a a
− = = − 3p
2
2 4 0 0a a a− = ⇔ = sau 2a = 2p
c)
2
2
2 4 1
3 9 1 5 6
1
a a
a a
∆ = = − + și, cum ABC este triunghi, obținem 2 5 6 0a a− + ≠ 2p
1
2
ABC∆ = ∆
A , deci 2 5 6 6a a− + < și, cum a este număr natural, obținem 1a = sau 4a = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( ) 1 3 3 9 9 3 9 3 9
3 9 3 9 9 1 3 3 9
y x xy xy y xy x xy
M x M y x xy y xy xy y x xy
+ + + − + + − 
= = 
− − − + − + − − +  3p
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 3 3
3 1 3
x y x y M x y
x y x y
 + + + 
= = + 
− + − + 
, pentru orice numere reale x și y 2p
b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 20M x M x M x x M I− = + − = = , pentru orice număr real x 2p
( ) ( ) ( )( ) ( ) 20M x M x M x x M I− = − + = = , pentru orice număr real x , deci inversa matricei
( )M x este matricea ( ) 1 3 3
3 1 3
x x
M x x x
− − 
− =  
+ 
, x ∈ ℝ 3p
c) ( ) ( )5 5M x x M+ + = , deci 5 5x x+ + = 2p
4x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
( )
( )( )
( )
2
2 2 2
2 12
lim lim lim
2 2 2x x x
f x x xx x
x x x x x→ → →
− +− −
= = =
− − − 3p
2
1 3
lim 2x
x
x→
+
= = 2p
b) ( ) 2
2
2
lim lim 1
x x
f x x x
x x→ +∞ → +∞
− −
= = 2p
( )( ) 2
lim lim 1
x x
x
f x x x→ +∞ → +∞
− −
− = = − , deci dreapta de ecuație 1y x= − este asimptotă oblică
spre +∞ la graficul funcției f
3p
c) ( )
( )
2 2
2
2
lim lim 2x x
f mx m x mx x m
f x mx x x→ +∞ → +∞
 − −
= ⋅ =  − − 
3p
Cum m este nenul, din 2
m m m= − , obținem 2m = , deci există un singur număr natural
nenul m care verifică relația 2p
2.a) ( )
( )
( )2
2 2
4 2 44
lim lim 1 4 41 2x x
x ax af x
x xx→ − ∞ → − ∞
− + −
= =
− +−
2p
2
2
4 4 8 16
lim 1
4 4 1x
x ax a
x x→ − ∞
− + −
= =
− + , pentru orice număr real a 3p
b) ( ) ( )2
2 2
2 2
lim lim 2 4 0
x x
x x
f x x ax a
→ →
< <
= − + − = , ( ) ( )1
2 2
2 2
lim lim 2 2 0x
x x
x x
f x −
→ →
> >
= − = și, cum ( )2 0f = ,
obținem ( ) ( )
2
lim 2
x
f x f
→
= , deci funcția f este continuă în 2x = , pentru orice număr real a
3p
Cum, pentru orice număr real a , funcția f este continuă pe ( ), 2−∞ și pe ( )2, +∞ , obținem
că f este continuă pe ℝ , pentru orice număr real a 2p
c) ( )1 3f a= − , ( )3 2f = 3p
Pentru orice număr real a , 3a < , ( ) ( )1 3 0f f⋅ < și, cum funcția f este continuă, ecuația
( ) 0f x = are cel puțin o soluție în intervalul ( )1,3 2p