Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2018 – 21 martie 2018, clasa a 12-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați partea întreagă a numărului real 3 125 5a = + .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( )f x x m= + , unde m este număr real. Determinați numărul real
m , știind că ( )( ) ( )1f f x f x= + , pentru orice număr real x .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia
4 1 3 5
2 2
3 3
x x+ +
   
≤   
    .
5p 4. Determinați numărul de submulțimi cu cel puțin trei elemente ale mulțimii { }0,1, 2, ,9A = … .
5p 5. Se consideră triunghiul MNP cu 6MN = , 8MP = și ( ) 90m M = °∢ . Calculați lungimea vectorului
u MN MP= +
   .
5p 6. Determinaţi numărul real x , știind că tg ctg 2 0x x+ + = și ,
2
x
π π
 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
0 2 1
1
0 0
2
2 1 0
x x
A x
x x
− 
 
 =  
 − 
, unde x este număr real.
5p a) Determinați numerele reale x pentru care ( )( )det 0A x = .
5p b) Demonstrați că ( ) ( ) 1
1 2 2
A x A x A 
+ − =  
  , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) 1 1
1 2 2
A x A x A 
⋅ − =  
  .
2. Pe mulţimea ɵ 
{ }20 0, 1, 2, , 19= ɵ ɵℤ … se defineşte legea de compoziţie 3 3 9x y xy x y= + + +ɵ ɵ ɵ .
5p a) Demonstrați că ( )( )3 3x y x y= + +ɵ ɵ , pentru orice 20,x y ∈ ℤ .
5p b) Determinați 20a ∈ ℤ , știind că 0a x = ɵ pentru orice 20x ∈ ℤ .
5p c) Dați exemplu de 
{ }20, \ 17a b ∈ ℤ pentru care 0a b = ɵ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
2f x x x= − .
5p a) Arătați că ( )
1
1 7
lim 1 2x
f x
x→
− =
− .
5p b) Determinați imaginea funcției f .
5p c) Demonstrați că 2 2 3
2 0
8
x
x
e e− + ≥ , pentru orice număr real x .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) arctgf x x= .
5p a) Arătaţi că ( )
1
0
1
tg 2
f x dx =∫ .
5p b) Calculați ( )1
2
0 1
f x dx
x +
∫ .
5p c) Demonstrați că ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1
4 2 4 2 2
n
n x f x dx
n n
π
π
− ≤ + ≤ −
+ +∫ , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XII-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 5a = + 2p
Cum 2 5 3< < , obținem [ ] 5 5 7a  = + =  3p
2. ( )( ) 2f f x x m= +
 , ( )1 1f x x m+ = + + 2p
2 1x m x m+ = + + , deci 1m = 3p
3. 4 1 3 5
2 2 4 1 3 5
3 3
x x
x x
+ +
   
≤ ⇔ + ≥ +   
    3p
[ )4,x ∈ +∞ 2p
4. Numărul de submulțimi cu cel puțin 3 elemente ale mulțimii A este 3 4 10
10 10 10C C C+ + + =⋯ 3p
10 0 1 2
10 10 102 1024 1 10 45 968C C C= − − − = − − − = 2p
5. u MN MP MQ= + =
    , unde MNQP este paralelogram 2p
( ) 90m M = °∢ , deci MNQP este dreptunghi și 10MQ NP= = 3p
6. ( )2
tg 11
tg 2 0 0
tg tg
x
x x x
+
+ + = ⇔ = 2p
tg 1x = − și, cum ,
2
x
π π
 
∈ 
  , obținem 3
4
x
π
= 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) ( )22 2
0 2 1
2 11 3 4 1
det 0 0 0 0 0 0
2 2 2 2
2 1 0
x x
xx x x
A x
x x
−
− − + −
= = + + − − − =
−
3p
1
3
x = sau 1x = 2p
b)
( ) ( )
0 2 1 1 0 1 2 1 0 0
1 1
1 0 0 0 0 0 1 0
2 2 0 0 1
2 1 0 1 2 0 1
x x x x
A x A x
x x x x
− − −             + − = + = =      
     − − −   
3p
1 0 0
2 1 1
2 0 0 2
2 2
1
0 0 2
A
 
 
    = =  
   
 
 
 
, pentru orice număr real x 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c) 2 2
2 2
1 0 0
5 5 1 0 4 4 1 4
1 1
0 0 0 0
4 4
14 4 1 0 5 5 1 0 0 4
x x x x
x x x x
 
  − + − − + −
   
   =
   
   
 − + − − + −     
 
3p
1
2
x = 2p
2.a) ( ) ( )3 3 9x y xy x y= + + + =ɵ ɵ ɵ
 2p
( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3x y y x y= + + + = + +ɵ ɵ ɵ ɵ ɵ , pentru orice 20,x y ∈ ℤ 3p
b) ( )( )3 3 0a x+ + =ɵ ɵ ɵ , pentru orice 20x ∈ ℤ 2p
3 0 17a a+ = ⇒ =ɵ ɵ 3p
c) ( )( )3 3 0a b+ + =ɵ ɵ ɵ 2p
De exemplu, pentru 1a = ɵ și ɵ2b = , obținem ɵ3 4a + =ɵ și 3 5b + =ɵ ɵ , deci 0a b = ɵ
 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1
' 4 2
f x x x
= − , ( )0,x ∈ +∞ 2p
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 7
lim lim ' 1
1 1 2x x
f x f x f f
x x→ →
− −
= = =
− − 3p
b) ( ) 1
' 0 4
f x x= ⇔ = 1p
( ) 0f x′ ≤ , pentru orice 1
0, 4
x  
∈ 
  , deci f este descrescătoare pe 1
0, 4
 
 
  și ( )' 0f x ≥ ,
pentru orice 1 ,
4
x  
∈ +∞ 
  , deci f este crescătoare pe 1 ,
4
 
+∞ 
 
2p
f continuă pe ( )0,+∞ , ( )
0
lim 0
x
f x
→
= , ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ , ( ) 1
4
f x f  
≥  
  și, cum 1 3
4 8
f   = − 
  ,
obținem 3
Im ,
8
f  
= − +∞ 
 
2p
c) 0x
e > , deci ( ) 3
8
x
f e ≥ − , pentru orice x ∈ ℝ 3p
( )2 3
2 8
x x
e e− ≥ − , deci 2 2 3
2 0
8
x
x
e e− + ≥ , pentru orice număr real x 2p
2.a)
( ) ( )
1 1 1
0 0 0
tg arctg tgf x dx x dx x dx= = =∫ ∫ ∫ 3p
2 1 1
2 20
x
= = 2p
b)
( )
1 1 2
2
0 0
1arctg 1'arctg arctg arctg
21 0
x dx x x dx x
x = = =
+
∫ ∫ 3p
2 2
21 1
arctg 1
2 2 4 32
π π 
= = ⋅ = 
  2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XII-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
c)
( ) ( ) ( )
1 1 1 11 1
1 1
2 2
0 0 0 0
1
'1 arctg arctg 41 10
n n
n n n x x
n x f x dx x x dx x x dx dx
x x
π+ +
+ +
+ = = − = −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ 2p
[ ] 1 1 11
1 1
2 2
0 0 0
1 1 1
0,1 1
2 21 1
n
n nx
x x dx dx x dx
x x
+
+ +
∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
+ +
∫ ∫ ∫ și, cum
1 1
0
1
2
n
x dx n
+ = +∫ ,
obținem ( ) ( ) ( )
1
0
1 1
1
4 2 4 2 2
n
n x f x dx
n n
π
π
− ≤ + ≤ −
+ +∫ , pentru orice număr natural nenul n
3p