Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2018 – 21 martie 2018, clasa a 11-a

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numărul complex z , știind că 2 4 5z iz i+ = + , unde z este conjugatul lui z .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2f x x= − . Determinați valorile reale ale lui x pentru care
( )( )f f x x< .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 33
3 27 3x + ⋅ = .
5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând o submulțime dintre submulțimile cu două elemente ale
mulțimii { }0,1, 2,3, 4,5A = , aceasta să conțină numai numere pare.
5p 5. Se consideră dreptunghiul ABCD cu 8AB = , 4AD = și punctul M , mijlocul laturii CD .
Calculați lungimea vectorului v DC BM= +
   .
5p 6. Se consideră ( ) 2 8
sin cos
3 3
x x
E x = − , unde x este număr real. Arătați că numărul 4
E
π 
 
  este
natural.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( )
2 2
2 2
1
1
0 0 1
a a a a
A a a a a a
 + −
 
 = − +
 
 
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 32A − = − .
5p b) Determinați valorile reale ale lui x pentru care ( )( )3det 0A x xI− ≥ .
5p c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2 2
,aP a a a a+ − , unde a este număr real.
Demonstrați că pentru orice număr real nenul a , punctele aP , aP− și O nu sunt coliniare.
2. Se consideră matricea ( )
1 0
0 2 0
0 0 1
x
x
M x
 
 
=  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Demonstrați că ( ) ( ) ( )0M x M x M⋅ − = , pentru orice număr real x .
5p b) Calculați inversa matricei ( )M x , x ∈ ℝ .
5p c) Arătați că ( ) ( ) ( )( ) ( )2
det 1 2 2 2 1n
M M M n n+ + + = −… , pentru orice număr natural nenul n .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )
2
2
2
1
x x
f x
x
+
=
+
.
5p a) Calculați ( )
0
lim
x
f x
x→
.
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că șirul ( ) 1n n
a ≥ cu ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3na f f f f n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… este descrescător.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )
( )
2
2 sin 1 , 1
3 2 1, 1
1
x x m x
f x x x
x
 + − + ≤

=  − − > −
, unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )
1
1
3
lim 4x
x
f x
→
>
= .
5p b) Determinați numărul real m pentru care funcţia f este continuă pe ℝ .
5p c) Pentru 5
4
m = − , demonstrați că ecuația ( ) 0f x = are cel puțin o soluție în intervalul ( )0,2 .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul de bacalaureat naţional 2018
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Clasa a XI-a
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( ) ( )2 4 5 2 2 4 5a ib i a ib i a b i a b i− + + = + ⇔ − + − = + , unde z a ib= + , ,a b ∈ ℝ 3p
1a = , 2b = − , deci 1 2z i= − 2p
2. ( )( ) ( )3 2 3 2 4 3f f x x x= − − = − 2p
( )4 3 ,1x x x− < ⇔ ∈ −∞ 3p
3. 2 1 1 3 2
3 3 3 2 3x x+ ⋅ = ⇔ + = 3p
1x = − sau 1x = 2p
4. Mulțimea A are 2
6C submulțimi cu două elemente, deci numărul cazurilor posibile este egal
cu 15 1p
Mulțimea A are 2
3C submulțimi cu două elemente care conțin numai numere pare, deci
numărul cazurilor favorabile este egal cu 3 2p
nr. cazuri favorabile 3 1
nr. cazuri posibile 15 5
p = = = 2p
5. DC AB=
  , deci v AB BM AM= + =
    3p
4 2AM = 2p
6. 2
sin cos
4 6 3
E
π π
π  = − = 
  2p
1 1 1
2 2
 
= − − = ∈ 
  ℕ 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 6 1 2 6 1
2 6 2 1 det 2 6 2 1
0 0 1 0 0 1
A A
 
 
− = ⇒ − = = 
 
 
2p
4 0 0 0 0 36 32= + + − − − = − 3p
b)
( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2
3
1
det 1 1 2 1
0 0 1
x x x
A x xI x x x x x x
x
−
− = − = − −
−
3p
( )( ) { }2 1
1 2 1 0 ,1 0
2
x x x x  
− − ≥ ⇔ ∈ ∪ 
  2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c) 2 2
2 2 3
1
1 4
0 0 1
a a a a
a a a a a
+ −
∆ = − + = 2p
Pentru orice a număr real nenul, obținem 0∆ ≠ , deci punctele aP , aP− și O nu sunt
coliniare 3p
2.a)
( ) ( )
1 0 1 0 1 0
0 2 0 0 2 0 0 2 2 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
x x x x
x x x x
M x M x − −
− − +    
    
⋅ − = = ⋅ =    
    
    
3p
( )
1 0 0
0 1 0 0
0 0 1
M
 
 
= = 
 
 
, pentru orice număr real x 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 3M x M x M x M x I⋅ − = − ⋅ = , pentru orice număr real x 3p
Inversa matricei ( )M x este matricea ( )
1 0
0 2 0
0 0 1
x
x
M x −
− 
 
− =  
 
 
, x ∈ ℝ 2p
c)
( ) ( ) ( ) 1 2
0 1 2
1 2 0 2 2 2 0
0 0
n
n n
M M M n
n
+ + + 
 
+ + + = + + + 
 
 
…
… … 2p
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )2
1
0 2
det 1 2 2 2 1
0 2 2 1 0
0 0
n
n
n n
n
M M M n n
n
+
+ + + = = −
−
… , pentru orice număr
natural nenul n
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
( )20 0
2
lim lim
1x x
f x x x
x x x→ →
+
= =
+ 2p
( )20
2
lim 2
1x
x
x→
+
= =
+ 3p
b)
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
lim lim lim 1
2 11x x x
x x x x
f x x xx→ +∞ → +∞ → +∞
+ +
= = =
+ ++ 3p
Dreapta de ecuație 1y = este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )1
2
1
1 1 1
4 4
n
n
a f n
a n n
+ = + = − <
+ + , pentru orice număr natural nenul n 3p
Cum 0na > pentru orice număr natural nenul n , obținem 1n na a+ < , deci șirul ( ) 1n n
a ≥ este
descrescător 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare pentru clasa a XI-a
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
2.a) ( ) ( )( )( )21 1 1
1 1 1
3 2 1 3 2 1
lim lim lim
1 1 1 3 2 1x x x
x x x
x x
f x x x x x→ → →
> > >
− − − −
= = =
− − + − + 3p
( )( )1
1
3 3
lim 41 3 2 1x
x x x→
>
= =
+ − + 2p
b) Pentru orice număr real m , funcția f este continuă pe ( ),1−∞ și pe ( )1, +∞ 2p
( ) ( )( )1 1
1 1
lim lim 2 sin 1 2x
x x
x x
f x x m m
→ →
< <
= + − + = + , ( )
1
1
3
lim 4x
x
f x
→
>
= și ( )1 2f m= + , deci funcția f
este continuă pe 5
4
m⇔ = −ℝ
3p
c) ( ) 1
0 sin1
4
f = − − , ( ) 1
2 3
f = 2p
f este continuă pe ℝ și ( ) ( )0 2 0f f⋅ < , deci ecuația ( ) 0f x = are cel puțin o soluție în
intervalul ( )0,2 3p