Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2017 – sesiunea specială, varianta 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 10
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 10
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 9 33 0
25 55
− = .
5p 2. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale nenule inecuația ( )3 1 6x − < .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2
4 4log 4 6 log 2x x+ + = .
5p 4. Determinaţi câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4 și 5.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1M , ( )4,1N şi ( )4, 4P . Arătați că triunghiul
MNP este isoscel.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 6AB = și 12BC = . Arătaţi că ( ) 30m C = °∢ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie ( )7 42x y xy x y∗ = + + + .
5p 1. Arătați că ( )2 2 40∗ − = .
5p 2. Arătați că ( )( )7 7 7x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Verificați dacă 6e = − este elementul neutru al legii de compoziţie „ ∗ ”.
5p 4. Determinaţi numărul real a pentru care 2 65a∗ = .
5p 5. Determinați numerele reale x , 0x > pentru care ( ) ( )2 2log log 42x x∗ = .
5p 6. Determinați numerele întregi m pentru care ( )2 57m m∗ − ≥ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 6 5
1 1
A − 
=  
− 
și 1 5
1 6
B  
=  
 
.
5p 1. Arătați că det 1A = .
5p 2. Arătați că 2A B B A O⋅ − ⋅ = , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p 3. Determinați numerele reale x pentru care ( )det 1 3A xB x+ = − .
5p 4. Determinați numerele reale x și y pentru care 7
1
x
A y
   
⋅ =   
−   
.
5p 5. Arătați că ( ) ( ) ( )det det 2 det detA B A B A B+ + − = + .
5p 6. Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M , astfel încât 2A X B I⋅ − = , unde 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 10
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 9 3
25 5
= 2p
3 33 3 3 0
5 55 5 5
− = − = 3p
2. 1 2 3x x− < ⇔ < 2p
Cum x este număr natural nenul, obținem 1x = sau 2x = 3p
3. 2 2
4 6 2 4 4 0x x x x+ + = ⇔ + + = 3p
2x = − , care convine 2p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 3 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 5 moduri, deci se
pot forma 3 5 15⋅ = numere 3p
5. ( ) ( )2 2
4 1 1 1 3MN = − + − = 2p
( ) ( )2 2
4 4 4 1 3NP MN NP= − + − = ⇒ = , deci MNP∆ este isoscel 3p
6. 6
sin 12
AB
C BC
= = = 2p
1
2
= și, cum C∢ este ascuțit, obținem ( ) 30m C = °∢ 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 7 2 2 42 2 7 0 42∗ − = ⋅ − + + − + = − + ⋅ + = 3p
2 42 40= − + = 2p
2. 7 7 49 7x y xy x y∗ = + + + − = 2p
( ) ( ) ( )( )7 7 7 7 7 7 7x y y x y= + + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( ) ( )( )6 7 6 7 7 7 7x x x x∗ − = + − + − = + − = 2p
( ) ( )( ) ( )6 6 7 7 7 7 7 6x x x x x− ∗ = − + + − = + − = = ∗ − , pentru orice număr real x , deci
6e = − este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 3p
4. ( )( )2 2 7 7 7 9 63 7 9 56a a a a∗ = + + − = + − = + 3p
9 56 65 1a a+ = ⇔ = 2p
5. ( ) ( )2 2
2 2 2log 7 7 42 log 7 49 log 7 7x x x+ − = ⇔ + = ⇔ + = − sau 2log 7 7x + = 3p
14
2x −
= sau 1x = , care convin 2p
6. ( ) ( )( ) 2
2 7 2 7 7 2 56m m m m m m∗ − = + − + − = − + + 2p
( )22 2 56 57 1 0m m m− + + ≥ ⇔ − − ≥ , de unde obținem 1m = 3p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )
6 5
det 6 1 1 5
1 1
A −
= = ⋅ − − ⋅ − =
− 3p
6 5 1= − = 2p
2. 6 5 1 5 1 5 6 5 1 0 1 0
1 1 1 6 1 6 1 1 0 1 0 1
A B B A − −           
⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − =           
− −            3p
2
0 0
0 0 O
 
= = 
  2p
3. ( ) 26 5 5 6 5 5
det 47 1
1 1 6 1 1 6
x x x x
A xB A xB x x
x x x x
+ − + + − + 
+ = ⇒ + = = + + 
− + + − + +  2p
2 2
47 1 1 3 50 0 50x x x x x x+ + = − ⇔ + = ⇔ = − sau 0x = 3p
4. 6 5 7 6 5 7
1 1 1 1
x x y
y x y
− − =     
= ⇔     
− − − + = −      3p
2x = și 1y = 2p
5. 7 0 5 10
,
0 7 2 5
A B A B −   
+ = − =   
− −    2p
( ) ( ) ( )
7 0 5 10
det det 49 45 4
0 7 2 5
A B A B −
+ + − = + = + − =
− − 2p
( ) ( ) ( ) ( )2 det det 2 1 1 4 det detA B A B A B+ = + = = + + − 1p
6. det 0A ≠ , 1 1 5
1 6
A−  
=  
  2p
( )1
2 2A X B I X A I B−
⋅ − = ⇔ = ⋅ + , de unde obținem 7 40
8 47
X  
=  
  3p