Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2017 – sesiunea iunie–iulie, 28 iunie 2017, varianta 2

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că
3
1 1 7
1 : 1
2 4 8
  
 + − =    
.
5p 2. Determinaţi numărul real a pentru care ( ) ( )1 1 2f f+ − = , unde :f →ℝ ℝ , ( )f x x a= + .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )2
6 6log 2 log 3x x+ = .
5p 4. Prețul unui obiect este 300 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori,
succesiv, cu câte 10% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( )3, 2A − și ( )3, 2B . Determinaţi distanţa
de la punctul O la punctul M , unde M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Calculaţi aria triunghiului ABC , ştiind că ( ) 45m C = °∢ şi 2 3AB AC= = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă 6x y x y∗ = + − .
5p 1. Arătaţi că 6 0 0∗ = .
5p 2. Arătaţi că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă.
5p 3. Verificați dacă 6e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p 4. Determinaţi numerele reale x pentru care x x x x∗ ∗ = .
5p 5. Arătaţi că 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = .
5p 6. Determinați numerele naturale pare nenule n pentru care
de 6 ori
6
n
n n n∗ ∗ ∗ <… .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricea ( ) 2
4 3
a
A a  
=  
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătaţi că ( )( )det 1 5A = − .
5p 2. Demonstrați că ( ) ( ) ( )2 0A a A a A− + = , pentru orice număr real a .
5p 3. Arătaţi că inversa matricei ( )3A este matricea 3 2
4 3
− 
 
− 
.
5p 4. Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea ( )A a este inversabilă.
5p 5. Determinaţi numerele reale a pentru care ( ) ( ) ( )2 24 3 1A a A a A O− + = , unde 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p 6. Determinaţi numerele reale a pentru care ( ) ( )( ) 2
det 2 15A a A a+ = − .

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul de bacalaureat naţional 2017
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 2
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 7
1 8 4 8
+ − = 3p
7 7
: 1
8 8 = 2p
2. ( )1 1f a= + , ( )1 1f a− = − + 2p
( ) ( )1 1 2 2 2f f a+ − = ⇔ = , deci 1a = 3p
3. 2 2
2 3 3 2 0x x x x+ = ⇔ − + = 3p
1x = sau 2x = , care convin 2p
4. După prima ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 300 10% 300 270− ⋅ = de lei 3p
După a doua ieftinire cu 10% , prețul obiectului este 270 10% 270 243− ⋅ = de lei 2p
5. ( )0, 2M 3p
2OM = 2p
6. ABC∆ este dreptunghic în A , deci 2 3 2 3
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
= = =
A 3p
6= 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. 6 0 6 0 6∗ = + − = 3p
6 6 0= − = 2p
2. 6 6x y x y y x∗ = + − = + − = 3p
y x= ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziţie „ ∗ ” este comutativă 2p
3. 6 6 6x x x∗ = + − = 2p
6 6 6 6x x x x∗ = + − = = ∗ , pentru orice număr real x , deci 6e = este elementul neutru al legii
de compoziție „ ∗ ” 3p
4. 2 6x x x∗ = − , 3 12x x x x∗ ∗ = − 2p
3 12 6x x x− = ⇔ = 3p
5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 5 9 13∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = − ∗ ∗ ∗ ∗ = 3p
( )8 8 13 6 13 6 1= − ∗ ∗ = − + − = 2p
6.
de 6 ori
6 30
n
n n n n∗ ∗ ∗ = −… 2p
6 30 6 6n n− < ⇒ < și, cum n este număr natural par nenul, obținem 2n = sau 4n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )( )
1 2 1 2
1 det 1 1 3 4 2
4 3 4 3
A A
 
= ⇒ = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
3 8 5= − = − 2p

Ministerul Educaţiei Naționale
Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 2
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
2. ( ) ( ) ( )
2 0 4
4 3 8 6
a
A a A a A a
−   
− = ⇒ − + = =   
    3p
( )
0 2
2 2 0
4 3 A
 
= = 
 
, pentru orice număr real a 2p
3. ( ) 2
3 2 3 2 3 2 9 8 6 6 1 0
3 4 3 4 3 4 3 12 12 8 9 0 1
A I
− − − − +         
⋅ = ⋅ = = =         
− − − − +          2p
( ) 2
3 2 9 8 6 6 1 0
3
4 3 12 12 8 9 0 1
A I
− − −     
⋅ = = =     
− − + − +     
, deci matricea 3 2
4 3
− 
 
− 
este inversa
matricei ( )3A
3p
4. ( )( ) 2
det 3 8
4 3
a
A a a= = − 2p
Matricea ( )A a este inversabilă ( )( ) 8
det 0 3 8 0 \ 3
A a a a  
⇔ ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ∈  
 
ℝ 3p
5.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 22 4 3 0
4 3 1
4 3 0 0
a a a
A a A a A a A
   − +
= ⇒ − + =      
   
2p
2 20 04 3 0 4 3 0
0 00 0
a a a a
   − + = ⇔ − + =       
, de unde obținem 1a = sau 3a = 3p
6. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 4 2 4
2 det 2 6 2 32 6 20
8 6 8 6
a a
A a A A a A a a
+ + 
+ = ⇒ + = = + − = − 
  2p
2 2
6 20 15 6 5 0a a a a− = − ⇔ − + = , de unde obținem 1a = sau 5a = 3p